Касательное ускорение точки равно первой производной от модуля скорости или второй производной от расстояния по времени. Касательное ускорение обозначается – .

.

Касательное ускорение в данной точке направлено по касательной к траектории движения точки; если движение ускоренное, то направление вектора касательного ускорения совпадает с направлением вектора скорости; если движение замедленное – то направление вектора касательного ускорения противоположно направлению вектора скорости. (рис. 8.5.)

Нормальным ускорением точки называется величина, равная квадрату скорости, деленному на радиус кривизны.

Вектор нормального ускорения направлен от данной точки к центру кривизны, (рис.8.6.). Нормальное ускорение обозначается .

– нормаль к данной точке на траектории движения.

Полное ускорение точки определяется из векторного уравнения:

Зная направление и модули и , по правилу параллелограмма определим ускорение, соответствующее данной точке траектории движения. Тогда модуль ускорения определим:

.

Характер - это такое исполнение движений, при котором у наблюдающих остается впечатление о легкости или грузности, округлости или угловатости, силе или расслабленности, свободе или скованности движений и т. п. Все эти оттенки создаются благодаря своеобразному подбору движений, осуществляющих действие

8.поступательное движения твердого тела. траектория, скорости и ускорения точек твердого тела при поступательном движении .

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором отрезок прямой, соединяющий две любые точки тела, во все время движения остается себе параллельным (например, АВ ).

Теорема. При поступательном движении твердого тела траектории, скорости и ускорения всех его точек одинаковы .

Доказательство . Пусть отрезок АВ тела за время перемещается поступательно. Возьмем произвольную точку O и определим в пространстве положение отрезка АВ радиусами-векторами и. Обозначим: – радиус-вектор, определяющий положение точки В относительно точки А :

Вектор не изменяется ни по величине, ни по направлению, так как (по определению поступательного движения). Из соотношения (1) видно, что траектория точки В получается из траектории точки А параллельным смещением точек этой траектории на постоянный вектор. Таким образом, траектории точек А и В будут одинаковыми.

Возьмем производную по времени от равенства (1). Тогда

Следовательно, при поступательном движении твердого тела скорости и ускорения всех его точек в данный момент времени одинаковы.

Отметим, что сам факт поступательного движения не определяет ни закона движения, ни вида траектории. При поступательном движении точки тела могут описывать любые траектории (например, окружности ). Но все они будут одинаковы .

Дифференцируя левую и правую части приведенного выше векторного соотношения и учитывая, что dAB/dt=0, получаем drB/dt =drA/dt, или VB = VA. Дифференцируя по времени левую и правую части полученного соотношения для скоростей, находим dVB/dt=dVA/dt, или аB = аА. На основании вышеизложенного можно сделать следующий вывод: чтобы задать движение и определить кинематические характеристики тела, совершающего поступательное движение, достаточно задать движение одной его любой точки (по-
люса) и найти ее кинематические характеристики.

Как и материальная точка, тело при его поступательном движении будет иметь одну степень свободы при движении по направляющей, задающей траекторию его точкам; две степени свободы в случае движения на плоскости (при постоянном контакте с ней хотя бы одной точкой) и три степени свободы в общем случае движения в пространстве.

9. вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Задания движения, угловая скорость и угловая ускорение, скорость и ускорения точек тела .

Движение материальной точки по криволинейной траектории всегда является ускоренным, поскольку если даже скорость не изменяется по численному значению, то всегда изменяется по направлению.

В общем случае ускорение при криволинейном движении можно представить в виде векторной суммы касательного (или тангенциального) ускорения t и нормального ускорения n : = t + n - рис. 1.4.

Касательное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по модулю. Значение этого ускорения будет:

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Численное значение этого ускорения, где r - радиус соприкасающейся окружности, т.е. окружности, проведенной через три бесконечно близкие точки B ¢, A, B , лежащих на кривой (рис. 1.5). Вектор n направлен по нормали к траектории к центру кривизны (центру соприкасающейся окружности).

Численное значение полного ускорения

где - угловая скорость.

где -угловое ускорение.

Угловое ускорение численно равно изменению угловой скорости за единицу времени.

В заключение приведём таблицу, в которой устанавливается аналогия между линейными и угловыми кинематическими параметрами движения.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Краткий курс физики

Министерство образования и науки Украины.. одесская национальная морская академия..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Основные единицы СИ
В настоящее время общепринятой является Международная система единиц - СИ. Эта система содержит семь основных единиц: метр, килограмм, секунда, моль, ампер, кельвин, кандела и две дополнительные -

Механика
Механика - наука о механическом движении материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между ними. Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного пол

Законы Ньютона
Динамика - раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под воздействием приложенных к ним сил. В основе механики лежат законы Ньютона. Первый закон Ньютона

Закон сохранения импульса
Рассмотрим вывод закона сохранения импульса на основе второго и третьего законов Ньютона.

Связь между работой и изменением кинетической энергии
Рис. 3.3 Пусть тело массой т движется вдоль оси х под

Связь между работой и изменением потенциальной энергии
Рис. 3.4 Эту связь мы установим на примере работы силы тяжес

Закон сохранения механической энергии
Рассмотрим замкнутую консервативную систему тел. Это означает, что на тела системы не действуют внешние силы, а внутренние силы по своей природе являются консервативными. Полной механическ

Соударения
Рассмотрим важный случай взаимодействия твёрдых тел - соударения. Соударением (ударом) называется явление конечного изменения скоростей твёрдых тел за весьма малые промежутки времени при их непо

Основной закон динамики вращательного движения
Рис. 4.3 Для вывода этого закона рассмотрим простейший случа

Закон сохранения момента импульса
Рассмотрим изолированное тело, т.е. такое тело на которое не действует внешний момент сил. Тогда Mdt = 0 и из (4.5) следует d(Iw)=0, т.е. Iw=const. Если изолированная система состоит

Гироскоп
Гироскопом называется симметричное твёрдое тело, вращающееся вокруг оси, совпадающей с осью симметрии тела, проходящей через центр масс, и соответствующей наибольшему собственному моменту инерции.

Общая характеристика колебательных процессов. Гармонические колебания
Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. В технике устройства, использующие колебательные процессы могут выполнять оп

Колебания пружинного маятника
Рис. 6.1 Укрепим на конце пружины тело массой m, которое мож

Энергия гармонического колебания
Рассмотрим теперь на примере пружинного маятника процессы изменения энергии в гармоническом колебании. Очевидно, что полная энергия пружинного маятника W=Wk+Wp, где кинетическая

Сложение гармонических колебаний одинакового направления
Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний одинакового направления, значительно облегчается, если изображать колебания графически, в виде векторов на плоскости. Полученная та

Затухающие колебания
В реальных условиях в системах, совершающих колебания, всегда присутствуют силы сопротивления. В результате система постепенно расходует свою энергию на выполнение работы против сил сопротивления и

Вынужденные колебания
В реальных условиях колеблющаяся система постепенно теряет энергию на преодоление сил трения, поэтому колебания являются затухающими. Чтобы колебания были незатухающими, необходимо каким-то образом

Упругие (механические) волны
Процесс распространения возмущений в веществе или поле, сопровождающийся переносом энергии, называется волной. Упругие волны - процесс распространения в упругой среде механически

Интерференция волн
Интерференцией называется явление наложения волн от двух когерентных источников, в результате которого происходит перераспределение интенсивности волн в пространстве, т.е. возникают интерференци

Стоячие волны
Частным случаем интерференции является образование стоячих волн. Стоячие волны возникают при интерференции двух встречных когерентных волн с одинаковой амплитудой. Такая ситуация может возни

Эффект Допплера в акустике
Звуковыми волнами называют упругие волны с частотами от 16 до 20000 Гц, воспринимаемые органами слуха человека. Звуковые волны в жидких и газообразных средах являются продольными. В твёрды

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
Рассмотрим в качестве простейшей физической модели идеальный газ. Идеальным называется такой газ, для которого выполняются следующие условия: 1) размеры молекул настолько малы, ч

Распределение молекул по скоростям
Рис.16.1 Предположим, чтонам удалось измерить скорости всех

Барометрическая формула
Рассмотрим поведение идеального газа в поле силы тяжести. Как известно, по мере подъёма от поверхности Земли давление атмосферы уменьшается. Найдём зависимость давления атмосферы от высоты

Распределение Больцмана
Выразим давление газа на высотах h иh0 через соответствующее число молекул в единице объёмап ип0, считая, что на разных высотахT=const: P =

Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам
Первое начало термодинамики - это обобщение закона сохранения энергии с учётом тепловых процессов. Его формулировка: количество теплоты, сообщённое системе, расходуется на выполнение работы

Число степеней свободы. Внутренняя энергия идеального газа
Числом степеней свободы называется число независимых координат, которыми описывается движение тела в пространстве. Материальная точка имеет три степени свободы, поскольку при её движении в п

Адиабатный процесс
Адиабатным называется процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой. В адиабатном процессеdQ = 0, поэтому первое начало термодинамики применительно к этому процессу прин

Обратимые и необратимые процессы. Круговые процессы (циклы). Принцип действия тепловой машины
Обратимыми называются такие процессы, которые удовлетворяют следующим условиям. 1. После прохождения этих процессов и возвращения термодинамической системы в исходное состояние в

Идеальная тепловая машина Карно
Рис. 25.1 В 1827 г. французский военный инженер С. Карно, ре

Второе начало термодинамики
Первое начало термодинамики, которое является обобщением закона сохранения энергии с учётом тепловых процессов, не указывает на направленность протекания различных процессов в природе. Так, первое

Невозможен процесс, единственным результатом которого была бы передача теплоты от холодного тела к горячему
В холодильной машине теплота передаётся от холодного тела (морозильной камеры) в более нагретую окружающую среду. Казалось бы, что это противоречит второму началу термодинамики. На самом деле проти

Энтропия
Введём теперь новый параметр состояния термодинамической системы - энтропию, которая принципиально отличается от других параметров состояния направленностью своего изменения. Элементарное измене

Дискретность электрического заряда. Закон сохранения электрического заряда
Источником электростатического поля служит электрический заряд - внутренняя характеристика элементарной частицы, определяющая ее способность вступать в электромагнитные взаимодействия.

Энергия электростатического поля
Найдём вначале энергию заряженного плоского конденсатора. Очевидно, что эта энергия численно равна работе, которую нужно совершить, чтобы разрядить конденсатор.

Основные характеристики тока
Электрическим током называется упорядоченное (направленное) движение заряженных частиц. Сила тока численно равна заряду, прошедшему через поперечное сечение проводника за единицу

Закон Ома для однородного участка цепи
Однородным называется участок цепи, не содержащий источника ЭДС. Ом экспериментально установил, что сила тока на однородном участке цепи пропорциональна напряжению и обратно пропорц

Закон Джоуля - Ленца
Джоуль и независимо от него Ленц экспериментально установили, что количество теплоты, выделенной в проводнике с сопротивлением R за время dt, пропорционально квадрату силы тока, сопротивлен

Правила Кирхгофа
Рис. 39.1 Для расчёта сложных цепей постоянного тока применя

Контактная разность потенциалов
Если два разнородных металлических проводника привести в контакт, то электроны получают возможность переходить из одного проводника в другой и обратно. Равновесное состояние такой системы

Эффект Зеебека
Рис. 41.1 В замкнутой цепи из двух разнородных металлов на г

Эффект Пельтье
Второе термоэлектрическое явление - эффект Пельтъе состоит в том, что при пропускании электрического тока через контакт двух разнородных проводников в нём происходит выделение или поглощени

К примеру, автомобиль, который трогается с места, движется ускоренно, так как наращивает скорость движения. В точке начала движения скорость автомобиля равняется нулю. Начав движение, автомобиль разгоняется до некоторой скорости. При необходимости затормозить, автомобиль не сможет остановиться мгновенно, а за какое-то время. То есть скорость автомобиля будет стремиться к нулю - автомобиль начнет двигаться замедленно до тех пор, пока не остановится полностью. Но физика не имеет термина «замедление». Если тело двигается, уменьшая скорость, этот процесс тоже называется ускорением , но со знаком «-».

Средним ускорением называется отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Вычисляют среднее ускорение при помощи формулы:

где - это . Направление вектора ускорения такое же, как у направления изменения скорости Δ = - 0

где 0 является начальной скоростью. В момент времени t 1 (см. рис. ниже) у тела 0 . В момент времени t 2 тело имеет скорость . Исходя из правила вычитания векторов, определим вектор изменения скорости Δ = - 0 . Отсюда вычисляем ускорение:

.

В системе СИ единицей ускорения называется 1 метр в секунду за секунду (либо метр на секунду в квадрате):

.

Метр на секунду в квадрате - это ускорение прямолинейно движущейся точки, при котором за 1 с скорость этой точки растет на 1 м/с. Другими словами, ускорение определяет степень изменения скорости тела за 1 с. К примеру, если ускорение составляет 5 м/с 2 , значит, скорость тела ежесекундно растет на 5 м/с.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени - это физическая величина , которая равна пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к 0. Другими словами - это ускорение, развиваемое телом за очень маленький отрезок времени:

.

Ускорение имеет такое же направление, как и изменение скорости Δ в крайне маленьких промежутках времени, за которые скорость изменяется. Вектор ускорения можно задать при помощи проекций на соответствующие оси координат в заданной системе отсчета (проекциями а Х, a Y , a Z).

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела увеличивается по модулю, т.е. v 2 > v 1 , а вектор ускорения имеет такое же направление, как и у вектора скорости 2 .

Если скорость тела по модулю уменьшается (v 2 < v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем замедление движения (ускорение отрицательно, а < 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Если происходит движение по криволинейной траектории, то изменяется модуль и направление скорости. Значит, вектор ускорения изображают в виде 2х составляющих.

Тангенциальным (касательным) ускорением называют ту составляющую вектора ускорения, которая направлена по касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение описывает степень изменения скорости по модулю при совершении криволинейного движения.

У вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. выше) направление такое же, как и у линейной скорости либо противоположно ему. Т.е. вектор тангенциального ускорения находится в одной оси с касательной окружности, являющейся траекторией движения тела.

Перемеще́ние (в кинематике) - изменение местоположения физического тела в пространстве относительно выбранной системы отсчёта. Также перемещениемназывают вектор, характеризующий это изменение. Обладает свойством аддитивности.

Ско́рость (часто обозначается , от англ. velocity или фр. vitesse) - векторная физическая величина, характеризующая быстротуперемещения и направления движения материальной точки в пространстве относительно выбранной системы отсчёта (например, угловая скорость).

Ускоре́ние (обычно обозначается , в теоретической механике ) - производная скорости по времени, векторная величина, показывающая, насколько изменяется вектор скорости точки (тела) при её движении за единицу времени (т.е. ускорение учитывает не только изменение величины скорости, но и её направления).

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n . Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов:

Сила. Масса. Законы Ньютона.

Си́ла - векторная физическая величина, являющаяся мерой интенсивности воздействия на данное тело других тел, а также полей. Приложенная к массивному телу сила является причиной изменения его скорости или возникновения в нём деформаций.

Ма́сса (от греч. μάζα) - скалярная физическая величина, одна из важнейших величин в физике. Первоначально (XVII-XIX века) она характеризовала «количество вещества» в физическом объекте, от которого, по представлениям того времени, зависели как способность объекта сопротивляться приложенной силе (инертность), так и гравитационные свойства - вес. Тесно связана с понятиями «энергия» и «импульс» (по современным представлениям - масса эквивалентна энергии покоя).

Первый закон Ньютона

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальная точка при отсутствии внешних воздействий сохраняет величину и направление своей скорости неограниченно долго.

Второй закон Ньютона

В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.

Третий закон Ньютона

Материальные точки попарно действуют друг на друга с силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению:

Импульс. Закон сохранения импульса. Упругие и неупругие удары.

И́мпульс (Количество движения) - векторная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этого тела на его скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса описывает одну из фундаментальных симметрий, - однородность пространства.

Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание).

Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.

Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара.

При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии.

4. Виды механической энергии. Работа. Мощность. Закон сохранения энергии.

В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную.

Кинетической энергией называют механическую энергию всякого свободно движущегося тела и измеряют ее той работой, которую могло бы совершить тело при его торможении до полной остановки.

Итак, кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения массы этого тела на квадрат его скорости:

Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Численно потенциальная энергия системы в данном ее положении равна работе, которую произведут действующие на систему силы при перемещении системы из этого положения в то, где потенциальная энергия условно принимается равной нулю (E n = 0). Понятие «потенциальная энергия» имеет место только для консервативных систем, т.е. систем, у которых работа действующих сил зависит только от начального и конечного положения системы.

Так, для груза весом P, поднятого на высоту h, потенциальная энергия будет равна E n = Ph (E n = 0 при h = 0); для груза, прикрепленного к пружине, E n = kΔl 2 / 2, где Δl - удлинение (сжатие) пружины, k – ее коэффициент жесткости (E n = 0 при l = 0); для двух частиц с массами m 1 и m 2 , притягивающимися по закону всемирного тяготения, , где γ – гравитационная постоянная, r – расстояние между частицами (E n = 0 при r → ∞).

Термин "работа" в механике имеет два смысла: работа как процесс, при котором сила перемещает тело, действуя под углом, отличном от 90°; работа - физическая величина, равная произведению силы, перемещения и косинуса угла между направлением действия силы и перемещением:

Работа равна нулю, когда тело движется по инерции (F = 0), когда нет перемещения (s = 0) или когда угол между перемещением и силой равен 90° (cos а = 0). Единицей работы в СИ служит джоуль (Дж).

1 джоуль - это такая работа, которая совершается силой 1 Н при перемещении тела на 1 м по линии действия силы. Для определения быстроты совершения работы вводят величину "мощность".

Мо́щность - физическая величина, равная отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени.

Различают среднюю мощность за промежуток времени :

и мгновенную мощность в данный момент времени:

Так как работа является мерой изменения энергии, мощность можно определить также как скорость изменения энергии системы.

В системе СИ единицей измерения мощности является ватт, равный одному джоулю, делённому на секунду.

Зако́н сохране́ния эне́ргии - фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что для изолированной физической системыможет быть введена скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и называемая энергией, которая сохраняется с течением времени. Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то его можно именовать не законом, а принципом сохранения энергии.

Все тела, которые окружают нас, находятся в постоянном движении. Перемещение в пространстве тел наблюдается на всех масштабных уровнях, начиная с движения элементарных частиц в атомах вещества и заканчивая ускоренным движением галактик во Вселенной. В любом случае процесс движения происходит с ускорением. В данной статье рассмотрим подробно понятие касательного ускорения и приведем формулу, по которой его можно рассчитать.

Кинематические величины

Прежде чем вести разговор о касательном ускорении, рассмотрим, какими величинами принято характеризовать произвольное механическое перемещение тел в пространстве.

В первую очередь — это путь L. Он показывает, какое расстояние в метрах, сантиметрах, километрах и так далее прошло тело за некоторый промежуток времени.

Вторая важная характеристика в кинематике — это скорость тела. В отличие от пути, она является величиной векторной и направлена вдоль траектории движения тела. Скорость определяет быстроту изменения пространственных координат во времени. Формула для ее вычисления имеет вид:

Скорость - это по времени производная пути.

Наконец, третьей важной характеристикой движения тел является ускорение. Согласно определению в физике, ускорение — это величина, которая определяет изменение скорости от времени. Формулу для него можно записать в виде:

Ускорение, как и скорость, тоже является величиной векторной, однако в отличие от нее оно направлено в сторону изменения скорости. Направление ускорения также совпадает с вектором результирующей силы, оказывающей действие на тело.

Траектория движения и ускорение

Многие задачи в физике рассматривают в рамках прямолинейного движения. В этом случае, как правило, не говорят о касательном ускорении точки, а работают с линейным ускорением. Однако если перемещение тела не является линейным, то полное его ускорение может быть разложено на две составляющие:

• касательную;
• нормальную.

В случае линейного движения нормальная составляющая равна нулю, поэтому о векторном разложении ускорения не говорят.

Таким образом, траектория движения во многом определяет характер и составные части полного ускорения. Под траекторией движения понимают воображаемую линию в пространстве, вдоль которой тело перемещается. Любая криволинейная траектория приводит к появлению ненулевых компонент ускорения, отмеченных выше.

Определение тангенциального ускорения

Тангенциальное или, как его еще называют, касательное ускорение — это компонента полного ускорения, которая направлена по касательной к траектории движения. Поскольку вдоль траектории направлена также скорость, то вектор тангенциального ускорения совпадает с вектором скорости.

Выше было дано понятие ускорения как меры изменения скорости. Поскольку скорость - это вектор, то изменить ее можно либо по модулю, либо по направлению. Касательное ускорение определяет только изменение модуля скорости.

Заметим, что в случае прямолинейного движения вектор скорости своего направления не меняет, поэтому, в соответствии с приведенным определением, тангенциальное ускорение и линейное ускорение - это одна и та же величина.

Получение уравнения касательного ускорения

Предположим, что тело движется по некоторой кривой траектории. Тогда его скорость v¯ в выбранной точке можно представить в следующем виде:

Здесь v — модуль вектора v¯, u t ¯ — единичный вектор скорости, направленный по касательной к траектории.

Используя математическое определение ускорения, получаем:

a¯ = dv¯/dt = d(v*u t ¯)/dt = dv/dt*u t ¯ + v*d(u t ¯)/dt

При нахождении производной здесь использовалось свойство произведения двух функций. Мы видим, что полное ускорение a¯ в рассматриваемой точке соответствует сумме двух слагаемых. Они являются касательным и нормальным ускорением точки соответственно.

Скажем пару слов о Оно ответственно за изменение вектора скорости, то есть за изменение направления движения тела вдоль кривой. Если явно вычислить значение второго слагаемого, то получится формула для нормального ускорения:

a n = v*d(u t ¯)/dt = v 2 /r

Нормальное ускорение направлено вдоль нормали, восстановленной в данную точку кривой. В случае движения по окружности нормальное ускорение является центростремительным.

Уравнение касательного ускорения a t ¯ имеет вид:

Это выражение говорит о том, что тангенциальное ускорение соответствует изменению не направления, а модуля скорости v¯ за момент времени. Поскольку тангенциальное ускорение направлено по касательной к рассматриваемой точки траектории, то оно всегда перпендикулярно нормальной компоненте.

и модуль полного ускорения

Выше была представлена вся информация, которая позволяет вычислить через касательное и нормальное. Действительно, так как обе компоненты являются взаимно перпендикулярными, то их вектора образуют катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является вектор полного ускорения. Этот факт позволяет записать формулу для модуля полного ускорения в следующем виде:

a = √(a n 2 + a t 2)

Угол θ между полным ускорением и тангенциальным можно определить так:

Чем больше тангенциальное ускорение, тем ближе оказываются направления касательного и полного ускорения.

Связь касательного и углового ускорения

Типичной криволинейной траекторией, по которой движутся тела в технике и природе, является окружность. Действительно, перемещение шестерен, лопастей и планет вокруг собственной оси или вокруг своих светил происходит именно по окружности. Движение, соответствующее этой траектории, называется вращением.

Кинематика вращения характеризуется теми же величинами, что кинематика движения по прямой, однако, они имеют угловой характер. Так, для описания вращения используют центральный угол поворота θ, угловые скорость ω и ускорение α. Для этих величин справедливы следующие формулы:

Предположим, что тело совершило один оборот вокруг оси вращения за время t, тогда для скорости угловой можно записать:

Линейная скорость в этом случае будет равна:

Где r - радиус траектории. Последние два выражения позволяют записать формулу связи двух скоростей:

Теперь вычислим производную по времени от левой и правой частей равенства, получим:

В правой части равенства стоит произведение на радиус окружности. Левая же часть равенства - это изменение модуля скорости, то есть касательное ускорение.

Таким образом, тангенциальное ускорение и аналогичная угловая величина связаны равенством:

Если предположить, что вращается диск, то тангенциальное ускорение точки при постоянной величине α будет возрастать линейно с увеличением расстояния от этой точки до оси вращения r.

Определение тангенциального ускорения по известной функции скорости

Известно, что скорость тела, которое перемещается по некоторой кривой траектории, описывается следующей функцией от времени:

Необходимо определить формулу касательного ускорения и найти его значение в момент времени t = 5 секунд.

Сначала запишем формулу для модуля тангенциального ускорения:

То есть для вычисления функции a t (t) следует определить производную скорости по времени. Имеем:

a t = d(2*t 2 + 3*t + 5)/dt = 4*t + 3

Подставляя в полученное выражение время t = 5 секунд, приходим к ответу: a t = 23 м/с 2 .

Заметим, что графиком скорости от времени в данной задаче является парабола, график же тангенциального ускорения - это прямая линия.

Задача на определение тангенциального ускорения

Известно, что материальная точка начала равноускоренное вращение с нулевого момента времени. Через 10 секунд после начала вращения ее центростремительное ускорение стало равным 20 м/с 2 . Необходимо определить касательное ускорение точки через 10 секунд, если известно, что радиус вращения равен 1 метр.

Сначала запишем формулу для центростремительного или нормального ускорения a c:

Пользуясь формулой связи между линейной и угловой скоростью, получим:

При равноускоренном движении скорость с угловым ускорением связаны формулой:

Подставляя ω в равенство для a c , получим:

Линейное ускорение через тангенциальное выражается так:

Подставляем последнее равенство в предпоследнее, получаем:

a c = a t 2 /r 2 *t 2 *r = a t 2 /r*t 2 =>

a t = √(a c *r)/t

Последняя формула с учетом данных из условия задачи приводит к ответу: a t = 0,447 м/с 2 .