Сумма ряда

сайт позволяет найти сумму ряда онлайн числовой последовательности. Помимо нахождения суммы ряда онлайн числовой последовательности, сервер в режиме онлайн найдет частичную сумму ряда . Это полезно для аналитических выкладок, когда сумму ряда онлайн необходимо представить и найти как решение предела последовательности частичных сумм ряда . По сравнению с другими сайтами, сайт обладает неоспоримым преимуществом, так как позволяет найти сумму ряда онлайн не только числового, но и функционального ряда , что позволит определить область сходимости исходного ряда , применяя наиболее известные методы. Согласно теории рядов , необходимым условием сходимости числовой последовательности является равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности. Однако, это условие не является достаточным для определения сходимости числового ряда онлайн .. Для определения сходимости рядов онлайн найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости ряда . Наиболее известные и часто применяемые из них - это признаки Д"Аламбера, Коши, Раабе, сравнения числовых рядов , а также интегральный признак сходимости числового ряда . Особое место среди числовых рядов занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные величины числовых рядов монотонно убывают. Оказывается, для таких числовых рядов необходимый признак сходимости ряда онлайн является одновременно и достаточным, то есть равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности. Существует множество различных сайтов, на которых представлены серверы для вычисления суммы ряда онлайн , а также разложения функций вряд в режиме онлайн в некоторой точке из области определения этой функции. Если разложить функцию в ряд онлайн не представляет на этих серверах особого труда, то вычислить сумму функционального ряда онлайн , каждым членом которого, в отличие от числового ряда , является не число, а функция, представляется практически невозможным в силу отсутствия необходимых технических ресурсов. Для www.сайт такой проблемы не существует.

Числовой ряд является некой последовательностью, которая рассматривается совместно с другой последовательностью (ее еще называют последовательностью частичных сумм). Подобные понятия применяются в математическом и комплексном анализе.

Сумму числового ряда можно легко вычислить в Excel с помощью функции РЯД.СУММ. Рассмотрим на примере, как работает данная функция, а после построим график функций. Научимся применять числовой ряд на практике при подсчете роста капитала. Но для начала немного теории.

Сумма числового ряда

Числовой ряд можно рассматривать как систему приближений к числам. Для его обозначения применяют формулу:

Здесь показана начальная последовательность чисел ряда и правило суммирования:

• ∑ - математический знак суммы;
• a i - общий аргумент;
• i - переменная, правило для изменения каждого последующего аргумента;
• ∞ - знак бесконечности, «предел», до которого проводится суммирование.

Запись обозначает: суммируются натуральные числа от 1 до «плюс бесконечности». Так как i = 1, то подсчет суммы начинается с единицы. Если бы здесь стояло другое число (например, 2, 3), то суммировать мы начинали бы с него (с 2, 3).

В соответствии с переменной i ряд можно записать развернуто:

А 1 + а 2 + а 3 + а 4 + а 5 + … (до «плюс бесконечности).

Определение суммы числового ряда дается через «частичные суммы». В математике они обозначаются Sn. Распишем наш числовой ряд в виде частичных сумм:

S 2 = а 1 + а 2

S 3 = а 1 + а 2 + а 3

S 4 = а 1 + а 2 + а 3 + а 4

Сумма числового ряда – это предел частичных сумм S n . Если предел конечен, говорят о «сходящемся» ряде. Бесконечен – о «расходящемся».

Сначала найдем сумму числового ряда:

Теперь построим в Excel таблицу значений членов ряда:

Общий первый аргумент берем из формулы: i=3.

Все следующие значения i находим по формуле: =B4+$B$1. Ставим курсор в нижний правый угол ячейки В5 и размножаем формулу.

Найдем значения. Делаем активной ячейку С4 и вводим формулу: =СУММ(2*B4+1). Копируем ячейку С4 на заданный диапазон.

Значение суммы аргументов получаем с помощью функции: =СУММ(C4:C11). Комбинация горячих клавиш ALT+«+» (плюс на клавиатуре).



Функция РЯД.СУММ в Excel

Для нахождения суммы числового ряда в Excel применяется математическая функция РЯД.СУММ. Программой используется следующая формула:

Аргументы функции:

• х – значение переменной;
• n – степень для первого аргумента;
• m – шаг, на который увеличивается степень для каждого последующего члена;
• а – коэффициенты при соответствующих степенях х.

Важные условия для работоспособности функции:

• все аргументы обязательные (то есть все должны быть заполнены);
• все аргументы – ЧИСЛОвые значения;
• вектор коэффициентов имеет фиксированную длину (предел в «бесконечность» не подойдет);
• количество «коэффициентов» = числу аргументов.

Вычисление суммы ряда в Excel

Та же функция РЯД.СУММ работает со степенными рядами (одним из вариантов функциональных рядов). В отличие от числовых, их аргументы являются функциями.

Функциональные ряды часто используются в финансово-экономической сфере. Можно сказать, это их прикладная область.

Например, положили в банк определенную сумму денег (а) на определенный период (n). Имеем ежегодную выплату х процентов. Для расчета наращенной суммы на конец первого периода используется формула:

S 1 = a (1 + x).

На конец второго и последующих периодов – вид выражений следующий:

S 2 = a (1 + x) 2 ; S 3 = a (1 + x) 2 и т.д.

Чтобы найти общую сумму:

S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

Частичные суммы в Excel можно найти с помощью функции БС().

Исходные параметры для учебной задачи:

Используя стандартную математическую функцию, найдем накопленную сумму в конце срока сумму. Для этого в ячейке D2 используем формулу: =B2*СТЕПЕНЬ(1+B3;4)

Теперь в ячейке D3 решим эту же задачу с помощью встроенной функции Excel: =БС(B3;B1;;-B2)

Результаты одинаковые, как и должно быть.

Как заполнить аргументы функции БС():

1. «Ставка» - процентная ставка, под которую оформлен вклад. Так как в ячейке В3 установлен процентный формат, мы в поле аргумента просто указали ссылку на эту ячейку. Если было бы указано число, то прописывали бы его сотую долю (20/100).
2. «Кпер» - число периодов для выплат процентов. В нашем примере – 4 года.
3. «Плт» - периодические выплаты. В нашем случае их нет. Поэтому поле аргумента не заполняем.
4. «Пс» - «приведенная стоимость», сумма вклада. Так как мы на время расстаемся с этими деньгами, параметр указываем со знаком «-».

Таким образом, функция БС помогла найти нам сумму функционального ряда.

В Excel есть и другие встроенные функции для нахождения разных параметров. Обычно это функции для работы с инвестиционными проектами, ценными бумагами и амортизационными платежами.

Построение графика функций суммы числового ряда

Построим график функций, отражающий рост капитала. Для этого нам нужно построить график функции являющейся суммой построенного ряда. За пример, возьмем те же данные по вкладу:

В первой строке показана накопленная сумма через год. Во второй – через два. И так далее.

Сделаем еще один столбец, в котором отразим прибыль:

Как мы считали – в строке формул.

На основании полученных данных построим график функций.

Выделим 2 диапазона: A5:A9 и C5:C9. Переходим на вкладку «Вставка» - инструмент «Диаграммы». Выбираем первый график:

Сделаем задачу еще более "прикладной". В примере мы использовали сложные проценты. Они начисляются на наращенную в предыдущем периоде сумму.

Возьмем для сравнения простые проценты. Формула простых процентов в Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

Добавим полученные значения в график «Рост капитала».

Какие именно выводы сделает инвестор – очевидно.

Математическая формула частичной суммы функционального ряда (с простыми процентами): S n = a (1 + x*n), где а – первоначальная сумма вклада, х – проценты, n – период.

Задача суммирования множества слагаемых решается в теории рядов.

где u 1, u 2, u 3 …., u n …–члены бесконечной числовой последовательности, называется числовым рядом .

Числа u 1, u 2, u 3 …., u n … называют членами ряда , а u n – общий член ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n–й частичной суммой ряда.

S n = u 1 + u 2 +… + u n ,

т.е. S 1 = u 1 ; S 2 = u 1 + u 2

S n = u 1 + u 2 +…+ u n

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел частичной суммы S n при n , то есть

Число S называется суммой ряда.

В противном случае:

Тогда ряд называется расходящимся.

Эталонные ряды.

1. Геометрический ряд (геометрическая прогрессия)

Пример.

2. Гармонический ряд.

3. Обобщенный гармонический ряд.

Пример.

.

Признаки сходимости знакоположительных рядов

Теорема 1. Необходимый признак сходимости.

C помощью этого признака можно установить расходимость ряда.

Пример.

Достаточные признаки

Теорема 1.Признак сравнения рядов.

Пусть даны два знакоположительных ряда:

Причем тогда, если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

Пример. Исследовать ряд на сходимость:

Сравним этот ряд с геометрическим рядом:

Следовательно, по признаку сравнения искомый ряд сходится.

Теорема 2. Признак Даламбера.

Пример. Исследовать на сходимость ряд:

по признаку Даламберу ряд сходится.

Теорема 3.Радикальный признак Коши.

3) при вопрос о сходимости остается открытым.

Пример: исследовать на сходимость числовой ряд:

Решение:

Следовательно, ряд сходится по Коши.

Теорема 4. Интегральный признак Коши.

Пусть члены ряда

положительны и не возрастают, то есть и являются значениями непрерывной невозрастающей функцииf (x ) при x = 1, 2, …, n .

Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл:

Пример.

Решение:

Следовательно, ряд расходится, так как расходится несобственный интеграл.

Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременого ряда.

Ряд называется знакопеременным , если любой его член может быть, как положительным, так и отрицательным.

Рассмотрим знакочередующиеся ряды:

Теорема 1. Признак Лейбница (достаточный признак).

Если у знакочередующегося ряда

члены убывают по абсолютной величине, то есть и

то ряд сходится, и его сумма не превосходит первого члена, то есть S ≤ .

Пример.

Решение:

Применим признак Лейбница:

.

Следовательно, ряд сходится по Лейбницу.

Теорема 2. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

Если для знакопеременного ряда сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов , то данный знакопеременный ряд сходится.

Пример: исследовать ряд на сходимость:

Решение:

из абсолютных величин членов исходного ряда сходится, как обобщенный гармонический ряд при .

Следовательно, исходный ряд сходится.

Этот признак является достаточным, но не необходимым, то есть существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, хотя ряды, составленные из абсолютных величин, расходятся.

Определение 1. абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение 2. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Отличие между ними в том, что абсолютно сходящийся ряд сходится из-за того, что его члены быстро убывают, а условно сходящийся ряд сходится из-за того, что положительные и отрицательные члены уничтожают друг друга.

Пример.

Решение:

Применим признак Лейбница:

Следовательно, ряд сходится по Лейбницу. Но ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится, как гармонический.

Значит, исходный ряд сходится условно.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«МАТИ»  РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО

Кафедра «Моделирование систем и информационные технологии»

Числовые ряды

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Высшая математика»

Составители : Егорова Ю.Б.

Мамонов И.М.

Корниенко Л.И.

Москва 2005 введение

Методические указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделения факультета № 14 специальностей 071000, 130200, 220200.

1. Основные понятия

Пусть u 1 , u 2 , u 3 , …, u n , …  бесконечная числовая последовательность. Выражение
называетсябесконечным числовым рядом , числа u 1 , u 2 , u 3 , …, u n  членами ряда;
называется общим членом ряда. Ряд часто записывают в сокращенном (свернутом) виде:

Сумму первых n членов числового ряда обозначают через и называютn -й частичной суммой ряда :

Ряд называется сходящимся , если его n -я частичная сумма при неограниченном возрастанииn стремится к конечному пределу, т.е. если
Числоназываютсуммой ряда .

Если же n -я частичная сумма ряда при
не стремится к конечному пределу, то ряд называютрасходящимся .

Пример 1. Найти сумму ряда
.

Решение. Имеем
. Так как:

,

Следовательно,

Так как
, то ряд сходится и его сумма равна
.

2. Основные теоремы о числовых рядах

Теорема 1. Если сходится ряд
то сходится и рядполучаемый из данного ряда отбрасыванием первых
членов (этот последний ряд называют
-м остатком исходного ряда). И наоборот, из сходимости
-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда.

Теорема 2. Если сходится ряд
и суммой его является число, то сходится и ряд
причем сумма последнего ряда равна
.

Теорема 3. Если сходятся ряды

имеющие соответственно суммыS и Q, то сходится и ряд причем сумма последнего ряда равна
.

Теорема 4 (Необходимый признак сходимости ряда) . Если ряд
сходится, то
, т.е. при
предел общего члена сходящегося ряда равен нулю.

Следствие 1. Если
, то ряд расходится.

Следствие 2. Если
, то определить сходимость или расходимость ряда с помощью необходимого признака сходимости нельзя. Ряд может как сходящимся, так и расходящимся.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Находим общий член ряда
. Так как:

т.е.
, то ряд расходится (не выполняется необходимое условие сходимости).

3. Признаки сходимости рядов с положительными членами

3.1. Признаки сравнения

Признаки сравнения основаны на сравнении сходимости заданного ряда с рядом, сходимость или расходимость которого известна. Для сравнения используются ниже перечисленные ряды.

Ряд
составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму

Ряд
составленный из членов возрастающей геометрической прогрессии, является расходящимся.

Ряд
является расходящимся.

Ряд
называется рядом Дирихле. При>1 ряд Дирихле сходится, при <1- расходится.

При =1 ряд
называется гармоническим. Гармонический ряд расходится.

Теорема. Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами:

(2)

причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е.
(n = 1, 2, 3, …). Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Замечание. Этот признак остается в силе, если неравенствo
выполняется не при всех, а лишь начиная с некоторого номераn = N , т.е. для всех n  N .

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда
составленного из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Так как этот ряд сходится, то сходится и заданный ряд.

Теорема. Второй признак сравнения (предельная форма признака сравнения). Если существует конечный и отличный от нуля предел
, то оба рядаиодновременно сходятся или расходятся.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

Решение. Сравним ряд с гармоническим рядом
Найдем предел отношения общих членов рядов:

Так как гармонический ряд расходится, то расходится и заданный ряд.

Пусть задана последовательность чисел R 1 , R 2 , R 3 ,…,R n ,…. Выражение R 1 + R 2 + R 3 +…+ R n +… называют бесконечным рядом , или просто рядом , а числа R 1 , R 2 , R 3 ,… - членами ряда . При этом имеют в виду, что накопление суммы ряда начинается с первых его членов. Сумма S n = называется частичной суммой ряда : при n=1 – первой частичной суммой, при n=2 – второй частичной суммой и так далее.

Называется ряд сходящимся , если последовательность его частичных сумм имеет предел, и расходящимся – в противном случае. Понятие суммы ряда можно расширить , и тогда некоторые расходящиеся ряды также будут обладать суммами. Именно расширенное понимание суммы ряда будет использовано при разработке алгоритмов при следующей постановке задачи: накопление суммы следует выполнять до тех пор, пока очередной член ряда по абсолютной величине больше заданной величины ε.

В общем случае все или часть членов ряда могут быть заданы выражениями, зависящими от номера члена ряда и переменных. Например,

Тогда возникает вопрос, как минимизировать объём вычислений - вычислять значение очередного члена ряда по общей формуле члена ряда (в приведённом примере её представляет выражение под знаком суммы), по рекуррентной формуле (её вывод представлен ниже) или использовать рекуррентные формулы лишь для частей выражения члена ряда (см. ниже).

Вывод рекуррентной формулы для вычисления члена ряда

Пусть требуется найти ряд чисел R 1 , R 2 , R 3 ,…, последовательно вычисляя их по формулам

,
, …,

Для сокращения вычислений в данном случае удобно воспользоваться рекуррентной формулой вида
, позволяющей вычислить значение R N при N>1, зная значение предыдущего члена ряда R N-1 , где
- выражение, которое можно получить после упрощения отношения выражения в формуле (3.1) для N к выражению для N-1:

Таким образом, рекуррентная формула примет вид
.

Из сравнения общей формулы члена ряда (3.1) и рекуррентной (3.2) видно, что рекуррентная формула значительно упрощает вычисления. Применим ее для N=2, 3 и 4 зная, что
:

Способы вычисление значения члена ряда

Для вычисления значения члена ряда, в зависимости от его вида, может оказаться предпочтительнее использование либо общей формулы члена ряда, либо рекуррентной формулы, либо смешанного способа вычисления значения члена ряда , когда для одной или нескольких частей члена ряда используются рекуррентные формулы, и затем их значения подставляются в общую формулу члена ряда. Например, - для ряда проще вычислять значение члена ряда
по его общей формуле
(сравните с
- рекуррентной формулой); - для ряда
лучше воспользоваться рекуррентной формулой
; - для ряда следует применить смешанный способ, вычисляя A N =X 3N по рекуррентной формуле
, N=2, 3,… при A 1 =1 и B N =N! - также по рекуррентной формуле
, N=2, 3,… при B 1 =1, а затем – член ряда
- по общей формуле, которая примет вид
.

Пример 3.2.1 выполнения задания

Вычислить с точностью ε для 0 o  X  45 o

используя рекуррентную формулу для вычисления члена ряда:

,

точное значение функции cos X,

абсолютную и относительную ошибки приближенного значения.

program Project1;

{$APPTYPE CONSOLE}

K=Pi/180; //Коэффициент для перевода из градусов в радианы

Eps: Extended =1E-8;

X: Extended =15;

R, S, Y, D: Extended;

{$IFNDEF DBG} //Операторы, не используемые при отладке

Write("Введите требуемую точность: ");

Write("Введите значение угла в градусах: ");

D:=Sqr(K*X); //Перевод X в радианы и возведение в квадрат

//Задание начальных значений переменным

//Цикл для вычисления членов ряда и накопления их суммы.

//Выполнять, пока модуль очередного члена ряда больше Eps.

while Abs(R)>Eps do

if N<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn("N=", N, " R=", R:14:11, " S=", S:14:11);

//Вывод результатов вычислений:

WriteLn(N:14," = Число шагов, за которое достигнута",

"заданная точность");

WriteLn(S:14:11," = Приближенное значение функции");

WriteLn(Cos(K*X):14:11," = Точное значение функции");

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11," = Абсолютная ошибка");

WriteLn(Abs((Cos(K*X)-S)/Cos(K*X)):14:11,

" = Относительная ошибка");