Уравнение неопределенности гейзенберга. Принцип неопределенности гейзенберга в квантовой механике. Понятие о состоянии системы. Лапласовский детерминизм

Принцип неопределенности лежит в плоскости квантовой механики, однако чтобы полноценно разобрать его, обратимся к развитию физики в целом. и Альберт Эйнштейн, пожалуй, в истории человечества. Первый еще в конце XVII века сформулировал законы классической механики, которой подчиняются все тела, окружающие нас, планеты, подвластные инерции и гравитации. Развитие законов классической механики привело научный мир к концу XIX века к мнению о том, что все основные законы природы уже открыты, и человек может объяснить любое явление во Вселенной.

Теория относительности Эйнштейна

Как оказалось, на тот момент была обнаружена лишь верхушка айсберга, дальнейшие изыскания подбросили ученым новые, совершенно невероятные факты. Так, в начале XX века было обнаружено, что распространение света (который имеет конечную скорость в 300 000 км/с) никак не подчиняется законам ньютоновской механики. Согласно формулам Исаака Ньютона, в случае если тело или волна испускается движущимся источником, его скорость будет равна сумме скорости источника и собственной. Однако волновые свойства частиц имели иную природу. Многочисленные опыты с ними продемонстрировали, что в электродинамике, молодой на тот момент науке, работает совершенно другой набор правил. Еще тогда Альберт Эйнштейн совместно с немецким физиком-теоретиком Максом Планком ввели свою знаменитую теорию относительности, описывающую поведение фотонов. Однако для нас сейчас важна не столько ее суть, сколько тот факт, что в этот момент была выявлена принципиальная несовместимость двух областей физики, совместить

которые, кстати, ученые пытаются и по сей день.

Рождение квантовой механики

Окончательно разрушило миф о всеобъемлющей классической механике изучение строения атомов. Опыты в 1911 году продемонстрировали, что атом имеет в своем составе еще более мелкие частицы (названные протонами, нейтронами и электронами). Более того, они также отказывались взаимодействовать по Изучение этих мельчайших частиц и породило новые для ученого мира постулаты квантовой механики. Таким образом, возможно, конечное понимание Вселенной лежит не только и не столько в изучении звезд, а в изучении мельчайших частиц, которые дают интереснейшую картину мира на микроуровне.

Принцип неопределенности Гейзенберга

В 1920-е годы делала свои первые шаги, а ученые лишь

осознавали, что же из нее вытекает для нас. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг сформулировал свой знаменитый принцип неопределенности, демонстрирующий одно из главных отличий микромира от привычного нам окружения. Состоит он в том, что невозможно измерить одновременно скорость и пространственное положение квантового объекта уже потому, что при измерении мы оказываем на него воздействие, ведь и само измерение тоже осуществляется с помощью квантов. Если совсем банально: оценивая объект в макромире, мы видим отраженный от него свет и на основании этого делаем выводы о нем. Но в уже воздействие световых фотонов (или других производных измерения) оказывает влияние на объект. Таким образом, принцип неопределенности вызвал понятные сложности в изучении и предсказании поведения квантовых частиц. При этом, что интересно, можно измерять отдельно скорость или отдельно положение тела. Но если мы будем измерять одновременно, то чем выше будут наши данные о скорости, тем меньше мы будем знать о действительном положении, и наоборот.

В классической механике состояние материальной точки (классической частицы) определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т. д. Перечисленные величины называются динамическими переменными. Строго говоря, микрообъекту не могут быть приписаны указанные динамические переменные. Однако информацию о микрочастицах мы получаем, наблюдая их взаимодействие с приборами, представляющими собой макроскопические тела. Поэтому результаты измерений поневоле выражаются в терминах, разработанных для характеристики макротел, т. е. через значения динамических переменных. В соответствии с этим измеренные значения динамических переменных приписываются микрочастицам. Например, говорят о состоянии электрона, в котором он имеет такое-то значение энергии, и т. д.

Своеобразие свойств микрочастиц проявляется в том, что не для всех переменных получаются при измерениях определенные значения. Так, например, электрон (и любая другая микрочастица) не может иметь, одновременно точных значений координаты х и компоненты импульса . Неопределенности значений удовлетворяют соотношению

( - постоянная Планка). Из (20.1) следует, что чем меньше неопределенность одной из переменных или тем больше неопределенность другой. Возможно такое состояние, в котором одна из переменных имеет точное значение, другая переменная при этом оказывается совершенно неопределенной (ее неопределенность равна бесконечности).

Соотношение, аналогичное (20.1), имеет место для у и , для z и , а также для ряда других пар величин (в классической механике такие пары величин называются канонически сопряженными). Обозначив канонически сопряженные величины буквами А и В, можно написать

(20.2)

Соотношение (20.2) называется соотношением неопределенности для величин А и Б. Это соотношение открыл В. Гейзенберг в 1927 г.

Утверждение о том, что произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка , называется принципом неопределенности Гейзенберга.

Энергия и время являются канонически сопряженными величинами. Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенности:

Это соотношение означает, что определение энергии с точностью должно занять интервал времени, равный но меньшей мере .

Соотношение неопределенности было установлено из рассмотрения, в частности, следующего примера. Попытаемся определить значение координаты х свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель ширины , расположенную перпендикулярно к направлению движения частицы (рис. 20.1). До прохождения частицы через щель ее составляющая импульса имеет точное значение, равное нулю (щель по условию перпендикулярна к импульсу), так что , зато координата х частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности координаты х появляется неопределенность , но это достигается ценой утраты определенности значения Действительно, вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла , где - угол, соответствующий первому дифракционному минимуму (максимумами высших порядков можно пренебречь, поскольку их интенсивность мала по сравнению с интенсивностью центрального максимума). Таким образом, появляется неопределенность:

Краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму), получающемуся от щели ширины соответствует угол для которого

{см. формулу (129.5) 2-го тома). Следовательно,

Отсюда с учетом (18.1) получается соотношение

согласующееся с (20.1).

Иногда соотношение неопределенности получает следующее толкование: в действительности у микрочастицы имеются точные значения координат и импульсов, однако ощутимое для такой частицы воздействие измерительного прибора не позволяет точно определить эти значения. Такое толкование является совершенно неправильным. Оно противоречит наблюдаемым на опыте явлениям дифракции микрочастиц.

Соотношение неопределенности указывает, в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Движение по траектории характеризуется вполне определенными значениями координат и скорости в каждый момент времени. Подставив в (20.1) вместо произведение тих, получим соотношение

Мы видим, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью применимо понятие траектории. Уже для макрочастицы размером всего 1 мкм неопределенности значений оказываются за пределами точности измерения этих величин, так что практически ее движение будет неотличимо от движения по траектории.

При определенных условиях даже движение микрочастицы может приближенно рассматриваться как происходящее по траектории. В качестве примера рассмотрим движение электрона в электронно-лучевой трубке. Оценим неопределенности координаты и импульса электрона для этого случая. Пусть след электронного пучка на экране имеет радиус порядка , длина трубки порядка 10 см (рис. 20.2). Тогда Импульс электрона связан с ускоряющим напряжением U соотношением

Отсюда При напряжении . В энергия электрона равна Оценим величину импульса:

Следовательно, , наконец, согласно соотношению (20.1):

Полученный результат указывает на то, что движение электрона в электронно-лучевой трубке практически неотличимо от движения по траектории.

Соотношение неопределенности является одним из фундаментальных положений квантовой механики. Одного этого соотношения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов, В частности, оно позволяет объяснить тот факт, что электрон не падает на ядро атома, а также оценить размеры простейшего атома и минимальную возможную энергию электрона в таком атоме.

Если бы электрон упал на точечное ядро, его координаты и импульс приняли бы определенные (нулевые) значения, что несовместимо с принципом неопределенности. Этот принцип требует, чтобы неопределенность координаты электрона и неопределенность импульса были связаны условием (20.1), Формально энергия была бы минимальна при Поэтому, производя оценку наименьшей возможной энергии, нужно положить . Подставив эти значения в (20.1), получим соотношение

Невозможно одновременно с точностью определить координаты и скорость квантовой частицы.

В обыденной жизни нас окружают материальные объекты, размеры которых сопоставимы с нами: машины, дома, песчинки и т. д. Наши интуитивные представления об устройстве мира формируются в результате повседневного наблюдения за поведением таких объектов. Поскольку все мы имеем за плечами прожитую жизнь, накопленный за ее годы опыт подсказывает нам, что раз всё наблюдаемое нами раз за разом ведет себя определенным образом, значит и во всей Вселенной, во всех масштабах материальные объекты должны вести себя аналогичным образом. И когда выясняется, что где-то что-то не подчиняется привычным правилам и противоречит нашим интуитивным понятиям о мире, нас это не просто удивляет, а шокирует.

В первой четверти ХХ века именно такова была реакция физиков, когда они стали исследовать поведение материи на атомном и субатомном уровнях. Появление и бурное развитие квантовой механики открыло перед нами целый мир, системное устройство которого попросту не укладывается в рамки здравого смысла и полностью противоречит нашим интуитивным представлениям. Но нужно помнить, что наша интуиция основана на опыте поведения обычных предметов соизмеримых с нами масштабов, а квантовая механика описывает вещи, которые происходят на микроскопическом и невидимом для нас уровне, - ни один человек никогда напрямую с ними не сталкивался. Если забыть об этом, мы неизбежно придем в состояние полного замешательства и недоумения. Для себя я сформулировал следующий подход к квантово-механическим эффектам: как только «внутренний голос» начинает твердить «такого не может быть!», нужно спросить себя: «А почему бы и нет? Откуда мне знать, как всё на самом деле устроено внутри атома? Разве я сам туда заглядывал?» Настроив себя подобным образом, вам будет проще воспринять статьи этой книги, посвященные квантовой механике.

Принцип Гейзенберга вообще играет в квантовой механике ключевую роль хотя бы потому, что достаточно наглядно объясняет, как и почему микромир отличается от знакомого нам материального мира. Чтобы понять этот принцип, задумайтесь для начала о том, что значит «измерить» какую бы то ни было величину. Чтобы отыскать, например, эту книгу, вы, войдя в комнату, окидываете ее взглядом, пока он не остановится на ней. На языке физики это означает, что вы провели визуальное измерение (нашли взглядом книгу) и получили результат - зафиксировали ее пространственные координаты (определили местоположение книги в комнате). На самом деле процесс измерения происходит гораздо сложнее: источник света (Солнце или лампа, например) испускает лучи, которые, пройдя некий путь в пространстве, взаимодействуют с книгой, отражаются от ее поверхности, после чего часть из них доходит до ваших глаз, проходя через хрусталик, фокусируется, попадает на сетчатку - и вы видите образ книги и определяете ее положение в пространстве. Ключ к измерению здесь - взаимодействие между светом и книгой. Так и при любом измерении, представьте себе, инструмент измерения (в данном случае, это свет) вступает во взаимодействие с объектом измерения (в данном случае, это книга).

В классической физике, построенной на ньютоновских принципах и применимой к объектам нашего обычного мира, мы привыкли игнорировать тот факт, что инструмент измерения, вступая во взаимодействие с объектом измерения, воздействует на него и изменяет его свойства, включая, собственно, измеряемые величины. Включая свет в комнате, чтобы найти книгу, вы даже не задумываетесь о том, что под воздействием возникшего давления световых лучей книга может сдвинуться со своего места, и вы узнаете ее искаженные под влиянием включенного вами света пространственные координаты. Интуиция подсказывает нам (и, в данном случае, совершенно правильно), что акт измерения не влияет на измеряемые свойства объекта измерения. А теперь задумайтесь о процессах, происходящих на субатомном уровне. Допустим, мне нужно зафиксировать пространственное местонахождение электрона. Мне по-прежнему нужен измерительный инструмент, который вступит во взаимодействие с электроном и возвратит моим детекторам сигнал с информацией о его местопребывании. И тут же возникает сложность: иных инструментов взаимодействия с электроном для определения его положения в пространстве, кроме других элементарных частиц, у меня нет. И, если предположение о том, что свет, вступая во взаимодействие с книгой, на ее пространственных координатах не сказывается, относительно взаимодействия измеряемого электрона с другим электроном или фотонами такого сказать нельзя.

В начале 1920-х годов, когда произошел бурный всплеск творческой мысли, приведший к созданию квантовой механики, эту проблему первым осознал молодой немецкий физик-теоретик Вернер Гейзенберг. Начав со сложных математических формул, описывающих мир на субатомном уровне, он постепенно пришел к удивительной по простоте формуле, дающий общее описание эффекта воздействия инструментов измерения на измеряемые объекты микромира, о котором мы только что говорили. В результате им был сформулирован принцип неопределенности, названный теперь его именем:

неопределенность значения координаты неопределенность скорости ,

математическое выражение которого называется соотношением неопределенностей Гейзенберга:

Где - неопределенность (погрешность измерения) пространственной координаты микрочастицы, - неопределенность скорости частицы, - масса частицы, а - постоянная Планка, названная так в честь немецкого физика Макса Планка, еще одного из основоположников квантовой механики. Постоянная Планка равняется примерно 6,626 x 10 –34 Дж·с, то есть содержит 33 нуля до первой значимой цифры после запятой.

Термин «неопределенность пространственной координаты» как раз и означает, что мы не знаем точного местоположения частицы. Например, если вы используете глобальную систему рекогносцировки GPS, чтобы определить местоположение этой книги, система вычислит их с точностью до 2-3 метров. (GPS, Global Positioning System - навигационная система, в которой задействованы 24 искусственных спутника Земли. Если у вас, например, на автомобиле установлен приемник GPS, то, принимая сигналы от этих спутников и сопоставляя время их задержки, система определяет ваши географические координаты на Земле с точностью до угловой секунды.) Однако, с точки зрения измерения, проведенного инструментом GPS, книга может с некоторой вероятностью находиться где угодно в пределах указанных системой нескольких квадратных метров. В таком случае мы и говорим о неопределенности пространственных координат объекта (в данном примере, книги). Ситуацию можно улучшить, если взять вместо GPS рулетку - в этом случае мы сможем утверждать, что книга находится, например, в 4 м 11 см от одной стены и в 1м 44 см от другой. Но и здесь мы ограничены в точности измерения минимальным делением шкалы рулетки (пусть это будет даже миллиметр) и погрешностями измерения и самого прибора, - и в самом лучшем случае нам удастся определить пространственное положение объекта с точностью до минимального деления шкалы. Чем более точный прибор мы будем использовать, тем точнее будут полученные нами результаты, тем ниже будет погрешность измерения и тем меньше будет неопределенность. В принципе, в нашем обыденном мире свести неопределенность к нулю и определить точные координаты книги можно.

И тут мы подходим к самому принципиальному отличию микромира от нашего повседневного физического мира. В обычном мире, измеряя положение и скорость тела в пространстве, мы на него практически не воздействуем. Таким образом, в идеале мы можем одновременно измерить и скорость, и координаты объекта абсолютно точно (иными словами, с нулевой неопределенностью).

В мире квантовых явлений, однако, любое измерение воздействует на систему. Сам факт проведения нами измерения, например, местоположения частицы, приводит к изменению ее скорости, причем непредсказуемому (и наоборот). Вот почему в правой части соотношения Гейзенберга стоит не нулевая, а положительная величина. Чем меньше неопределенность в отношении одной переменной (например, ), тем более неопределенной становится другая переменная (), поскольку произведение двух погрешностей в левой части соотношения не может быть меньше константы в правой его части. На самом деле, если нам удастся с нулевой погрешностью (абсолютно точно) определить одну из измеряемых величин, неопределенность другой величины будет равняться бесконечности, и о ней мы не будем знать вообще ничего. Иными словами, если бы нам удалось абсолютно точно установить координаты квантовой частицы, о ее скорости мы не имели бы ни малейшего представления; если бы нам удалось точно зафиксировать скорость частицы, мы бы понятия не имели, где она находится. На практике, конечно, физикам-экспериментаторам всегда приходится искать какой-то компромисс между двумя этими крайностями и подбирать методы измерения, позволяющие с разумной погрешностью судить и о скорости, и о пространственном положении частиц.

На самом деле, принцип неопределенности связывает не только пространственные координаты и скорость - на этом примере он просто проявляется нагляднее всего; в равной мере неопределенность связывает и другие пары взаимно увязанных характеристик микрочастиц. Путем аналогичных рассуждений мы приходим к выводу о невозможности безошибочно измерить энергию квантовой системы и определить момент времени, в который она обладает этой энергией. То есть, если мы проводим измерение состояния квантовой системы на предмет определения ее энергии, это измерение займет некоторый отрезок времени - назовем его . За этот промежуток времени энергия системы случайным образом меняется - происходят ее флуктуация, - и выявить ее мы не можем. Обозначим погрешность измерения энергии . Путем рассуждений, аналогичных вышеприведенным, мы придем к аналогичному соотношению для и неопределенности времени, которым квантовая частица этой энергией обладала:

Относительно принципа неопределенности нужно сделать еще два важных замечания:

1. он не подразумевает, что какую-либо одну из двух характеристик частицы - пространственное местоположение или скорость - нельзя измерить сколь угодно точно;
2. принцип неопределенности действует объективно и не зависит от присутствия разумного субъекта, проводящего измерения.

Иногда вам могут встретиться утверждения, будто принцип неопределенности подразумевает, что у квантовых частиц отсутствуют определенные пространственные координаты и скорости, или что эти величины абсолютно непознаваемы. Не верьте: как мы только что видели, принцип неопределенности не мешает нам с любой желаемой точностью измерить каждую из этих величин. Он утверждает лишь, что мы не в состоянии достоверно узнать и то, и другое одновременно. И, как и во многом другом, мы вынуждены идти на компромисс. Опять же, писатели-антропософы из числа сторонников концепции «Новой эры» иногда утверждают, что, якобы, поскольку измерения подразумевают присутствие разумного наблюдателя, то, значит, на некоем фундаментальном уровне человеческое сознание связано с Вселенским разумом, и именно эта связь обусловливает принцип неопределенности. Повторим по этому поводу еще раз: ключевым в соотношении Гейзенберга является взаимодействие между частицей-объектом измерения и инструментом измерения, влияющим на его результаты. А тот факт, что при этом присутствует разумный наблюдатель в лице ученого, отношения к делу не имеет; инструмент измерения в любом случае влияет на его результаты, присутствует при этом разумное существо или нет.

Энциклопедия Джеймса Трефила «Природа науки. 200 законов мироздания».

Джеймс Трефил - профессор физики университета Джорджа Мэйсона (США), один из наиболее известных западных авторов научно-популярных книг.

Хотя этот принцип и выглядит довольно странным, по своей сути он чрезвычайно прост. В квантовой теории, где положение объекта характеризуется квадратом амплитуды, а величина его импульса - длиной волны соответствующей волновой функции, этот принцип есть не что иное, как просто факт, характерный для волн: волна, локализованная в пространстве, не может иметь одну длину волны. Недоумение вызывается тем, что, говоря о частице, мы мысленно представляем ее классический образ, а затем удивляемся, когда обнаруживаем, что квантовая частица ведет себя не так, как ее классическая предшественница.

Если настаивать на классическом описании поведения квантовой частицы (в частности, если пытаться приписать ей как положение в пространстве, так и импульс), то максимальные возможные точности одновременного определения ее положения и импульса окажутся связанными между собой с помощью удивительно простого соотношения, впервые предложенного Гейзенбергом и получившего название принципа неопределенности:

где - неточности, или неопределенности, значений импульса и положения частицы. Произведение неточностей импульса и положения

оказывается порядка величины постоянной Планка. В квантовой теории в отличие от классической невозможно одновременно локализовать квантовую частицу и приписать ей определенный импульс Поэтому такая частица не может обладать и траекторией в том же смысле, что классическая частица. Мы имеем в виду отнюдь не психологическую неопределенность. Эта неопределенность характеризует природу такого объекта, который не может одновременно обладать двумя свойствами-положением и импульсом; объекта, отдаленно напоминающего шторм в атмосфере: если он простирается на большие расстояния, то дуют слабые ветры; если же он сконцентрирован в небольшой области, то возникает ураган или тайфун.

Принцип неопределенности содержит в удивительно простой форме то, что было так трудно сформулировать, используя волну Шредингера. Если имеется волновая функция с заданной длиной волны или с заданным импульсом, то ее положение является полностью неопределенным, так как вероятности нахождения частицы в различных точках пространства равны между собой. С другой стороны, если частица полностью локализована, ее волновая функция должна состоять из суммы всех возможных периодических волн, так что ее длина волны или импульс оказываются абсолютно неопределенными. Точное соотношение между неопределенностями положения и импульса (которое получается непосредственно из волновой теории и не связано особым образом с квантовой механикой, так как оно характеризует природу любых волн - звуковых волн, волн на поверхности воды или волн, бегущих вдоль натянутой пружины) дается в простой форме принципом неопределенности Гейзенберга.

Вспомним рассмотренную ранее частицу, одномерное движение которой происходило между двумя стенками, расположенными на расстоянии друг от друга. Неопределенность положения такой частицы не превышает расстояния между стенками, так как мы знаем, что частица заключена между ними. Поэтому величина равна или меньше

Положение частицы, конечно, может быть локализовано в более узких пределах. Но если задано, что частица просто заключена между стенками, ее координата х не может выйти за пределы расстояния между этими стенками. Следовательно, неопределенность, или отсутствие

знания, ее координаты х не может превышать величину I. Тогда неопределенность импульса частицы больше или равна

Импульс связан со скоростью по формуле

следовательно, неопределенность скорости

Если частица-электрон и расстояние между стенками равно см. то

Таким образом, если частица с массой электрона локализована в области, размеры которой порядка то говорить о скорости частицы можно лишь с точностью до см/с,

Используя результаты, полученные ранее, можно найти соотношение неопределенности для волны Шредингера в случае частицы, заключенной между двумя стенками. Основному состоянию такой системы соответствует смесь в равных долях решений с импульсами

(В классическом случае электрон мечется от стенки к стенке, причем его импульс, оставаясь все время равным по величине изменяет свое направление при каждом соударении со стенкой.) Так как импульс изменяется от до его неопределенность равна

Из соотношения де Бройля

а для основного состояния

В то же время

Следовательно,

Этот результат можно использовать для оценки наименьшего значения энергии, которым может обладать квантовая система. Ввиду того что импульс системы - неопределенная величина, эта энергия в общем случае не равна нулю, что радикально отличает квантовую систему от классической. В классическом случае энергия рассматриваемой частицы совпадает с ее кинетической энергией, и когда частица покоится, эта энергия обращается в нуль, Для квантовой системы, как было показано выше неопределенность импульса находящейся в системе частицы составляет

Импульс такой частицы нельзя определить точно, так как возможные его значения лежат в интервале шириной Очевидно, если нуль лежит посредине этого интервала (фиг. 127), то импульс будет изменяться по величине в пределах от нуля до Следовательно, минимальный возможный импульс, который можно приписать частице, равен в силу принципа неопределенности

При меньших значениях импульса принцип неопределенности нарушится. Энергию, соответствующую этому импульсу,

можно сравнить с наименьшей энергией, величину которой мы вычислили с помощью уравнения Шредингера, подбирая подходящую стоячую волну между стенками сосуда:

Ценность полученного результата состоит не в численном согласии, а в том, что нам удалось провести грубую оценку величины минимальной энергии, используя лишь принцип неопределенности. Кроме того, нам удалось понять, почему минимальное значение кинетической энергии квантовомеханической системы (в отличие от классической системы) никогда не равно нулю. Соответствующая классическая частица, заключенная между стенками, обладает нулевой кинетической

энергией, когда она находится в покое. Квантовая же частица не может покоиться, если она захвачена между стенками. Ее импульс или скорость существенно неопределенны, что проявляется в увеличении энергии, причем это увеличение в точности совпадает с тем значением, которое получается из строгого решения уравнения Шредингера.

Этот весьма общий результат имеет особенно важные следствия в том разделе квантовой теории, который соответствует классической кинетической теории, т. е. в квантовой статистике. Широко известно, что температура системы, как утверждает кинетическая теория, определяется внутренним движением составляющих систему атомов. Если температура квантовой системы высока, то нечто весьма похожее на это действительно имеет место. Однако при низких температурах квантовые системы не могут прийти к абсолютному покою. Минимальная температура соответствует наинизшему из возможных состояний данной системы. В классическом случае все частицы находятся в покое, а в квантовом - энергия частиц определяется из выражения (41.17), что не соответствует покою частиц.

Из всего сказанного может создаться впечатление, что мы уделяем слишком много внимания электронам, заключенным между двумя стенками. Наше внимание к электронам вполне оправдано. А к стенкам? Если проанализировать все рассмотренные ранее случаи, то можно убедиться в том, что вид силовой системы, будь то сосуд или что-нибудь иное, удерживающей электрон в ограниченной области пространства, не так уже существен.

Две стенки, центральная сила или различные препятствия (фиг. 128) приводят к примерно одинаковым результатам. Не столь уж важен вид конкретной системы, которая удерживает электрон. Гораздо важнее, что электрон вообще захвачен, т. е. его волновая функция локализована. В результате эта функция представляется в виде суммы периодических волн и импульс частицы становится неопределенным, причем

Проанализируем теперь с помощью принципа неопределенности одно типично волновое явление, а именно расширение волны после прохождения ею небольшого отверстия (фиг. 129). Это явление мы уже разбирали геометрическим способом, вычисляя расстояния, на

которых горбы пересекаются с впадинами., В том, что теперь результаты окажутся сходными, нет ничего удивительного. Просто одна и та же теоретическая модель описывается разными словами. Допустим, что электрон попадает в отверстие в экране, двигаясь слева направо. Нас интересует неопределенность положения и скорости электрона в направлении х (перпендикулярном направлению движения). (Соотношение неопределенности выполняется для каждого из трех направлений в отдельности: Ах-Архжк,

Обозначим ширину щели через эта величина является максимальной погрешностью определения положения электрона в направлении х, когда он проходил через отверстие, чтобы проникнуть за экран. Отсюда мы можем найти неопределенность импульса или скорости частицы в направлении я:

Следовательно, если мы допускаем, что электрон проходит сквозь отверстие в экране шириной мы должны признать, что его скорость при этом станет неопределенной с точностью до величины

В отличие от классической частицы квантовая не может, пройдя сквозь отверстие, дать на экране четкое изображение.

Если она движется со скоростью в направлении экрана, а расстояние между экраном и отверстием равно то она пройдет это расстояние за время

За это время частица сместится в направлении х на величину

Угловой разброс определяется как отношение величины смещения к длине

Таким образом, угловой разброс (интерпретируемый как половина углового расстояния до первого дифракционного минимума) равен длине волны, деленной на ширину отверстия, что совпадает с результатом, полученным ранее для света.

А что можно сказать об обычных массивных частицах? Являются ли они квантовыми частицами или частицами ньютоновского типа? Следует ли пользоваться механикой Ньютона в случае объектов обычных размеров и квантовой механикой в случае объектов, размеры которых малы? Мы можем считать все частицы, все тела (даже Землю) квантовыми. Однако, если размеры и масса частицы соизмеримы с размерами и массами, которые обычно наблюдаются в макроскопических явлениях, то квантовые эффекты - волновые свойства, неопределенности положения и скорости - становятся слишком малыми, чтобы быть обнаружимыми в обычных условиях.

Рассмотрим, например, частицу, о которой мы говорили выше. Допустим, что эта частица - металлический шарик от подшипника с массой в одну тысячную грамма (очень маленький шарик). Если мы локализуем его положение с точностью, доступной нашему зрению, в поле микроскопа, скажем с точностью до одной тысячной сантиметра, то локализованного на длине см, неопределенность скорости оказывается слишком маленькой величиной, чтобы быть обнаруженной при обычных наблюдениях.

Соотношения неопределенности Гейзенберга связывают не только положение и импульс системы, но и другие ее параметры, которые в классической теории считались независимыми. Одним из наиболее интересных и полезных для наших целей соотношений является связь между неопределенностями энергии и времени. Обычно ее записывают в виде

Если система находится в определенном состоянии в течение длительного промежутка времени, то энергия этой системы известна с большой точностью; если же она находится в этом состоянии в течение очень короткого интервала времени, то ее энергия становится неопределенной; этот факт точно описывается соотношением, приведенным выше.

Это соотношение обычно применяют при рассмотрении перехода квантовой системы из одного состояния в другое. Допустим, например, что время жизни какой-то частицы равно , т. е. между моментом рождения этой частицы и моментом ее распада проходит время порядка с. Тогда максимальная точность, с которой может быть известна энергия этой частицы, равна

что составляет весьма небольшую величину. Как мы увидим позднее, существуют так называемые элементарные частицы, время жизни которых порядка с (время между моментом рождения частицы и моментом ее аннигиляции). Таким образом, промежуток времени, в течение которого частица находится в определенном состоянии, очень мал, и неопределенность энергии оценивается как

Эта величина, 4-106 эВ (миллион электронвольт кратко обозначается символом МэВ), огромна; вот почему, как мы увидим позже, таким элементарным частицам, иногда называемым резонансами, приписывают не точное значение энергии, а целый спектр значений в довольно широком диапазоне.

Из соотношения (41.28) можно также получить так называемую естественную ширину уровней квантовой системы. Если, например, атом переходит с уровня 1 на уровень 0 (фиг. 130), то энергию уровня

Тогда разброс значений энергии этого уровня определяется из выражения:

Это типичная естественная ширина энергетических уровней атомной системы.

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга ) - в квантовой механике так называют принцип, дающий нижний (ненулевой) предел для произведения дисперсий величин, характеризующих состояние системы.

Обычно принцип неопределённости иллюстрируется следующим образом. Рассмотрим ансамбль невзаимодействующих эквивалентных частиц, приготовленных в определённом состоянии, для каждой из которых измеряется либо координата q , либо импульс p . При этом результаты измерений будут случайными величинами, дисперсии которых будут удовлетворять соотношению неопределённостей . Отметим, что, хотя нас интересуют одновременные значения координаты и импульса в данном квантовом состоянии , измерять их у одной и той же частицы нельзя, так как любое измерение изменит её состояние.

В общем смысле, соотношение неопределённости возникает между любыми переменными состояния, определяемыми некоммутирующими операторами. Это - один из краеугольных камней квантовой механики, который был открыт Вернером Гейзенбергом в г.

Краткий обзор

Принцип неопределённости в квантовой механике иногда объясняется таким образом, что измерение координаты обязательно влияет на импульс частицы. По-видимому, сам Гейзенберг предложил это объяснение, по крайней мере первоначально. То, что влияние измерения на импульс несущественно, может быть показано следующим образом: рассмотрим ансамбль (невзаимодействующих) частиц, приготовленных в одном и том же состоянии; для каждой частицы в ансамбле мы измеряем либо импульс, либо координату, но не обе величины. В результате измерения мы получим, что значения распределены с некоторой вероятностью, и для дисперсий d p и d q верно отношение неопределённости.

Отношения неопределённости Гейзенберга - это теоретический предел точности любых измерений. Они справедливы для так называемых идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана . Они тем более справедливы для неидеальных измерений или измерений Ландау .

Соответственно, любая частица (в общем смысле, например несущая дискретный электрический заряд) не может быть описана одновременно как «классическая точечная частица» и как волна . (Сам факт того, что какое-либо из этих описаний может быть справедливо, по крайней мере в отдельных случаях, называют корпускулярно-волновым дуализмом). Принцип неопределённости, в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, верен в случае, когда ни одно из этих двух описаний не является полностью и исключительно подходящим, например частица в коробке с определённым значением энергии; то есть для систем, которые не характеризуются ни каким-либо определённым «положением» (какое-либо определённое значение расстояния от потенциальной стенки), ни определённым значением импульса (включая его направление).

Существует точная, количественная аналогия между отношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов . Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну . Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может иметь и точного значения времени, как например короткий импульс, и точного значения частоты, как, например, в непрерывном чистом тоне. Временно́е положение и частота волны во времени походят на координату и импульс частицы в пространстве.

Определение

Если приготовлены несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности - это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину стандартного отклонения Δx координаты и стандартного отклонения Δp импульса, мы найдем что:

,

где - постоянная Дирака . В некоторых случаях «неопределённость» переменной определяется как наименьшая ширина диапазона, который содержит 50 % значений, что, в случае нормального распределения переменных, приводит для произведения неопределённостей к большей нижней границе . Отметьте, что это неравенство даёт несколько возможностей - состояние может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть определён точно, в то время как x - нет. Во всех же других состояниях, и x и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем неопределённость потому, что значение чрезвычайно мало.

Другие характеристики

Было развито множество дополнительных характеристик, включая описанные ниже:

Выражение конечного доступного количества информации Фишера

Принцип неопределённости альтернативно выводится как выражение неравенства Крамера - Рао в классической теории измерений. В случае когда измеряется положение частицы. Средне-квадратичный импульс частицы входит в неравенство как информация Фишера . См. также полная физическая информация.

Обобщённый принцип неопределённости

Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу. В своей общей форме, он применим к каждой паре сопряжённых переменных . В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения неопределённостей двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которую мы здесь приведем

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости , впервые выведенная в г. Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером :

Это неравенство называют соотношением Робертсона - Шрёдингера .

Оператор A B − B A называют коммутатором A и B и обозначают как [A ,B ] . Он определен для тех x , для которых определены оба A B x и B A x .

Из соотношения Робертсона - Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга :

Предположим, A и B - две физические величины, которые связаны с самосопряжёнными операторами. Если A B ψ и B A ψ определены, тогда:

,

Среднее значение оператора величины X в состоянии ψ системы, и

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов A и B , которые имеют один и тот же собственный вектор ψ . В этом случае ψ представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для A и B .

Общие наблюдаемые переменные, которые повинуются принципу неопределённости

Предыдущие математические результаты показывают, как найти отношения неопределённости между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных A и B , коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.

• самое известное отношение неопределённости - между координатой и импульсом частицы в пространстве:

• отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:

где i , j , k различны и J i обозначает угловой момент вдоль оси x i .

• следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:

. Однако, при условие периодичности несущественно и принцип неопределенности принимает привычный вид: .