Уравнение бернулли физический смысл. §4. Физическая сущность уравнения Бернулли

Документальные учебные фильмы. Серия «Физика».

Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli; 29 января (8 февраля) 1700 - 17 марта 1782), швейцарский физик-универсал, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750). Сын Иоганна Бернулли.

Закон (уравнение) Бернулли является (в простейших случаях) следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

Здесь

- плотность жидкости, - скорость потока, - высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, - давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, - ускорение свободного падения.

Уравнение Бернулли также может быть выведено как следствие уравнения Эйлера, выражающего баланс импульса для движущейся жидкости.

В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли (не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли или интегралом Бернулли .

Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.

Размерность всех слагаемых - единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»).

Соотношение, близкое к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли . В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.

Для горизонтальной трубы высота постоянна и уравнение Бернулли принимает вид: .

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности : .

Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового , статического и динамического давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины - гидравлики.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для приближённого описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений), в магнитной гидродинамике, феррогидродинамике.

Как закон Всемирного Тяготения Ньютона действовал задолго до самого Ньютона, так и уравнение Бернулли существовало задолго до того, как родился сам Бернулли. Ему удалось лишь облечь это уравнение в наглядную форму, в чем его неоспоримая и огромная заслуга. Зачем мне уравнение Бернулли, спросите Вы, ведь я прекрасно жил и без него. Да, но оно может пригодиться Вам хотя бы на экзамене по гидравлике! Как говорится, «все не так уж плохо, если ты знаешь и можешь сформулировать уравнение Бернулли».

Кто такой Бернулли?

Даниил Бернулли – сын известного ученого Якоба Бернулли, швейцарский математик и физик. Жил с 1700 по 1782 годы, а с 1725 по 1733 трудился в Петербургской Академии наук. Помимо физики и математики Бернулли также изучал медицину наряду с Д’Аламбером и Эйлером считается отцом основателем математической физики. Успехи этого человека позволяют с уверенностью сказать, что это был настоящий «супермозг».

Д. Бернулли (1700-1782)

Идеальная жидкость и течение идеальной жидкости

Помимо известной нам материальной точки и идеального газа существует также идеальная жидкость . Какой-нибудь студент, конечно, может подумать, что эта жидкость – его любимое пиво или кофе, без которого невозможно жить. Но нет, идеальная жидкость – это жидкость, которая абсолютно несжимаема, лишена вязкости и теплопроводности. Тем не менее, такая идеализация дает вполне хорошее описание движения реальных жидкостей в гидродинамике.

Течением жидкости называется движение ее слоев относительно друг друга или относительно всей жидкости.

Помимо того есть разные режимы течения жидкости. Нас интересует тот случай, когда скорость потока в какой-то конкретной точке не меняется со временем. Такой поток называют стационарным. При этом скорость течения в различных точках стационарного потока может различаться.

– совокупность частиц движущейся жидкости.

Вывод уравнения Бернулли

Но как описать движение жидкости? Для этого нам нужно знать вектор скорости частиц, точнее зависимость его от времени. Совокупность скоростей в разных точках потока дает поле вектора скорости.

Рассмотрим стационарное течение жидкости по трубке. В одном месте сечение этой трубки равно S1, а в другой – S2. При стационарном потоке через оба сечения за одинаковый промежуток времени пройдет одинаковое количество жидкости.

Данное уравнение – уравнение неразрывности струи.

Узнав его, Бернулли решил установить связь между давлением и скоростью жидкости в разных сечениях. Полное давление – это сумма статистического (обусловлено потенциальной энергией жидкости) и динамического давлений (обусловлено кинетической энергией). Оказывается, сумма статического и динамического давлений в любом сечении трубы постоянна. Само же уравнение Бернулли имеет вид:

Смысл уравнения Бернулли

Физический смысл уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли является следствием закона сохранения энергии. Первый член уравнения Бернулли – это кинетическая энергия, второе слагаемое уравнения Бернулли – потенциальная энергия в поле силы тяжести, третье – работа силы давления при подъеме жидкости на высоту h.

Вот и все, друзья, не так уж и страшно. Совсем немного времени, а Вы уже знаете уравнение Бернулли. Даже если Вы не знаете больше ничего, с этими знаниями идти на экзамен или зачет гораздо лучше, чем просто так. А если Вам необходима помощь в том, как решать задачи на уравнение Бернулли – не стесняйтесь и оформляйте заявку. После того как распишут решение уравнения Бернулли максимально подробно, у Вас не останется пробелов в знаниях.

Дифференциальное уравнение вида , где , называется уравнением Бернулли.

Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли на . В результате получим: (8.1) Введем новую функцию . Тогда . Домножим уравнение (8.1) на и перейдем в нем к функции z(x) : , т.е. для функции z(x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем параграфе. Подставим в его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y . При добавляется решение y(x)=0 . Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки , а применяя метод Бернулли.

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Определение. Если в уравнении M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (9.1) левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y) , то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде du(x,y)=0 , следовательно, его общий интеграл есть u(x,y)=c.

Например, уравнение xdy+ydx=0 есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде d(xy)=0. Общим интегралом будет xy=c.

Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x . Тогда, для того, чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество (9.2).

Доказательство. Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2). Покажем, что может быть найдена такая функция u(x,y) , что и .

Действительно, поскольку , то (9.3) , где - произвольная дифференцируемая функция. Продифференцируем (9.3) по y: . Но , следовательно, .Положим и тогда .Итак, построена функция , для которой , а .

Интегрирующий множитель.

Если уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция µ = µ(x,y) , такая что после умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение

µ(Mdx + Ndy) = 0 в полных дифференциалах, т. е. µ(Mdx + Ndy)du , то функция µ(x,y) называется интегрирующим множителем уравнения. В случае, когда уравнение уже есть уравнение в полных дифференциалах, полагают µ = 1 .

Если найден интегрирующий множитель µ , то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.

Если µ есть непрерывно дифференцируемая функция от x и y , то .

Отсюда следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет следующему уравнению с частными производными 1-го порядка: (10.1). Если заранее известно, что µ= µ(ω) , где ω – заданная функция от x и y , то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ от независимой переменной ω : (10.2), где , т. е. дробь является функцией только от ω .

Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель , с = 1. В частности уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x (ω = x ) или только от y (ω = y ), если выполнены соответственно следующие условия: , или , .

10. Свойства решений ЛДУ II-го порядка (с док-вом). Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) 2-го порядка имеет следующий вид: , (2.1)

где , , и – заданные функции, непрерывные на том промежутке, на котором ищется решение. Предполагая, что a 0 (x) ≠ 0, поделим (2.1) на и, после введения новых обозначений для коэффициентов, запишем уравнение в виде: (2.2)

Примем без доказательства, что (2.2) имеет на некотором промежутке единственное решение, удовлетворяющее любым начальным условиям , , если на рассматриваемом промежутке функции , и непрерывны. Если , то уравнение (2.2) называется однородным, и уравнение (2.2) называется неоднородным в противном случае. Рассмотрим свойства решений лоду 2-го порядка.

Определение. Линейной комбинацией функций называется выражение , где – произвольные числа.

Теорема. Если и – решение лоду , (2.3) то их линейная комбинация также будет решением этого уравнения.

Дата: 2009-10-20

Для двух сечений потока 1-1 и 2-2 реальной жидкости (рисунок 1) при установившемся плавно изменяющемся движении уравнение Бернулли имеет вид:

z 1 + p 1 /γ + α 1 υ 1 2 /(2g) = z 2 + p 2 /γ + α 2 υ 2 2 /(2g) + Σh п (1)

где z - ордината, определяющая высоту положения центра выбранного сечения над произвольной горизонтальной плоскостью сравнения 0-0; p/γ - пьезометрическая высота; z + p/γ = H п - гидростатический напор; αυ 2 /(2g) = h v - скоростная высота, или скоростной напор; α - коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей в живом сечении потока.

Сумма трех членов:

z + p/γ + αυ 2 /(2g) = H

есть полный напор; Σh п - потеря напора между выбранными сечениями потока. Вместо выражения (1) можно написать:

H 1 = H 2 + Σh п

Все члены уравнения Бернулли в формуле (1) имеют линейную размерность и в энергетическом смысле представляют удельную энергию жидкости, т. е. энергию, отнесенную к единице веса жидкости.

Так, z и p/γ - удельная потенциальная энергия соответственно положения и давления;
z + p/γ - удельная потенциальная энергия жидкости;
αυ 2 /(2g) - удельная кинетическая энергия, выраженная через среднюю скорость потока в данном сечении. Сумма всех трех членов z + p/γ + αυ 2 /(2g) = H представляет полный запас удельной механической энергии жидкости в данном сечении потока;
Σh п - удельная механическая энергия, затрачиваемая на преодоление сопротивления движению жидкости между сечениями потока и переходящая в тепловую энергию, которая состоит из следующих слагаемых:

Σh п = Σh дл + Σh мест

где Σh дл - потери энергии (напора) на трение по длине; Σh мест - местные потери энергии (напора).

Если уравнение (1) умножить на γ, то получим:

γz 1 + p 1 + γα 1 υ 1 2 /(2g) = γz 2 + p 2 + γα 2 υ 2 2 /(2g) + γΣh п (2)

Члены уравнения (2) имеют размерность давления и представляют энергию, отнесенную к единице объема.

Если уравнение (1) умножить на g, то получим

gz 1 + p 1 /ρ + α 1 υ 1 2 /2 = gz 2 + p 2 /ρ + α 2 υ 2 2 /2 + gΣh п (3)

Члены уравнения (3) имеют размерность м 2 /с 2 и представляют энергию, отнесенную к единице массы.

РИСУНОК 1

На рисунке 1 приведена диаграмма уравнения Бернулли для потока реальной жидкости. Здесь 0-0 - плоскость сравнения; N-N - плоскость начального напора; Н-Н - напорная линия, или линия полной удельной энергии. Падение ее на единицу длины представляет гидравлический уклон J ; Р-Р - пьезометрическая линия, или линия удельной потенциальной энергии. Падение ее на единицу длины представляет пьезометрический уклон J п .

Так как общий запас удельной энергии вдоль потока непрерывно уменьшается, линия Н-Н всегда нисходящая, а гидравлический уклон всегда положительный (J>0 ). Пьезометрическая линия может быть и нисходящей, и восходящей (последнее имеет место на расширяющихся участках, когда средняя скорость потока уменьшается), поэтому пьезометрический уклон может быть и положительным (J>0 ), и отрицательным(J).

На участках с равномерным движением жидкости, где имеют место только потери напора на трение по длине, линии Н-Н и Р-Р представляют взаимно параллельные прямые, поэтому J = J п =h дл /L . В этом случае потеря напора может быть определена по разности гидростатических напоров:

h дл = (z 1 + p 1 /γ) - (z 2 + p 2 /γ)

РИСУНОК 2

Для горизонтальных участков потоков (z 1 =z 2 ) или в случае, если плоскость сравнения 0-0 проведена по оси потока (z 1 =z 2 = 0) (рисунок 2), потеря напора на трение по длине может быть определена непосредственно по разности показаний пьезометров:

h дл = (p 1 - p 2)/γ

На рисунке 3 показаны линия энергии Н-Н и пьезометрическая линия P-P для трубопровода переменного сечения, соединяющего два открытых резервуара.

РИСУНОК 3

Источник: Вильнер Я.М. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам.

Комментарии к этой статье!!

Что хорошо то? типо вы что то из этого поняли! Люди уже отупели а это всё было выведено еще в 1697 году! Сейчас бы никто до этого не додумался!

вьезжаю но медленно столько всего интересного

уравнение бернулли и в 23 веке таким же и останется справедливым

Уравнение Бернулли является основным уравнением гидродинамики , устанавливающим связь между средней скоростью потока и гидродинамическим давлением в установившемся движении.

Рассмотрим элементарную струйку в установившемся движении идеальной жидкости. Выделим двумя сечениями, перпендикулярными к направлению вектора скоростиu , элемент длиной dl и площадью dF . Выделенный объем будет находиться под действием силы тяжести

и сил гидродинамического давления
.

Так как
, то
.

Учитывая, что в общем случае скорость выделенного элемента
, его ускорение

.

Применив к выделенному элементу весом
уравнение динамики
в проекции на траекторию его движения, получим

Учитывая то, что
и что при установившемся движении
, после интегрирования и деления на
получим полный напор потока в рассматриваемом сечении:

,

где - геометрический напор (высота), выражающий удельную потенциальную энергию положения частички жидкости над некоторой плоскостью отсчета, м,

- пьезометрический напор, выражающий удельную энергию давления, м,

- скоростной напор, выражающий удельную кинетическую энергию, м,

- статический напор, м.

Это и есть уравнение Бернулли. Трехчлен этого уравнения выражает напор в соответствующем сечении и представляет собой удельную (отнесенную к единице веса) механическую энергию, переносимую элементарной струйкой через это сечение.

Впрактике технических измерений уравнение Бернулли используют для определения скорости жидкости
.

Уравнение Бернулли можно получить еще и следующим образом. Представим себе, что рассматриваемый нами элемент жидкости является неподвижным. Тогда на основании основного уравнения гидростатики
потенциальная энергия жидкости в сечениях 1 и 2 будет

.

Движение жидкости характеризуется появлением кинетической энергии, которая для единицы веса будет равна для рассматриваемых сечений
и
. Полная энергия потока элементарной струйки будет равна сумме потенциальной и кинетической энергии, поэтому

.

Таким образом, основное уравнение гидростатики является следствием уравнения Бернулли.

Лекция №7

Уравнение бернулли для реальной жидкости

Уравнение Бернулли в установившемся движении идеальной жидкости имеет вид:

.

где - геометрический напор (высота), м,- пьезометрический напор, м,

- скоростной напор, м,
- статический напор, м.

В случае реальной жидкости полный напор для разных струек в одном и том же сечении потока не будет одинаковым, так как неодинаковым будет скоростной напор в разных точках одного и того же сечения потока. Кроме того, в виду рассеяния энергии из-за трения напор от сечения к сечению будет убывать.

Однако для сечений потока, взятых там, где движение на его участках плавно меняющееся, для всех проходящих через сечение элементарных струек будет постоянным статический напор

.

Если уравнение Бернулли для элементарной струйки распространить на весь поток и учесть потери напора на сопротивление движению, то получим

где α – коэффициент кинетической энергии, равный для турбулентного потока 1,13, а для ламинарного – 2; v – средняя скорость потока; h – уменьшение удельной механической энергии потока на участке между сечениями 1 и 2, проходящее в результате сил внутреннего трения.

Расчет дополнительного члена h в уравнении Бернулли является основной задачей инженерной гидравлики.

Графическое представление уравнения Бернулли для нескольких сечений потока реальной жидкости имеет вид:

Линия А, которая проходит по уровням в пьезометрах, измеряющих в точках избыточное давление, называетсяпьезометрической линией . Она показывает изменение отсчитанного от плоскости сравнения статического напора Н с по длине потока. Пьезометрическая линия отделяет область измерения потенциальной и кинетической энергии.

Полный напор Н уменьшается по длине потока (линия В – линия полного напора реальной жидкости).

Градиент напора по длине потока называется гидравлическим уклоном и выражается формулой

,

т.е. гидравлический уклон численно равен синусу угла между горизонталью и линией полного напора реальной жидкости.

Расходомер Вентури

Расходомер Вентури представляет собой устройство, устанавливаемое в трубопроводах и осуществляющее сужение потока – дросселирование. Расходомер состоит из двух участков – плавно сужающегося (сопла) и постепенно расширяющегося (диффузора). Скорость потока в суженном месте возрастает, а давление падает. В наибольшем и наименьшем сечениях трубы установлены пьезометры, показания которых позволяют определить перепад пьезометрического напора между двумя сечениями трубы и записать

.

В этом уравнении неизвестными являются v 1 и v 2 . Из уравнения неразрывности следует
, что позволяет определить скоростьv 2 и расход жидкости через трубу

,

где С – константа расходомера, учитывающая также и потери напора, так как определяется опытом.

Аналогично ведется расчет расходомерной шайбы, обычно выполняемой в виде кольца. Расход определяется по замеренной разности уровней в пьезометрах.

Уравнение Бернулли и уравнение неразрывности потока являются основными при расчете гидравлических систем.