Если на тело действует только одна сила, то оно обязательно получает ускорение. Но если на тело действует не одна, а две или большее число сил, то иногда может оказаться, что тело ускорения не получит, т. е. либо останется в покое, либо будет двигаться равномерно и прямолинейно. В таких случаях говорят, что все силы взаимно уравновешиваются и что каждая из них уравновешивает все остальные, или что их равнодействующая равна нулю (§ 39).

Простейшим является случай, когда на тело действуют две уравновешивающие друг друга силы: при их совместном действии тело не получает ускорения. Такие силы, как показывает опыт, действуя на тело каждая в отдельности, сообщили бы ему равные ускорения, направленные противоположно. Действуя совместно на какое-нибудь другое тело, эти силы снова взаимно уравновесились бы, а действуя в отдельности, сообщили бы ему ускорения другие, но также равные друг другу по модулю и направленные противоположно. Поэтому уравновешивающиеся силы считают равными по модулю и противоположными по направлению. Например, на гирю, подвешенную на пружине, действует сила тяжести (вниз) и равная ей сила упругости пружины (вверх), уравновешивающие друг друга.

Итак, если ускорение тела равно нулю, это значит, что либо на него не действуют силы, либо равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю: все силы взаимно уравновешиваются.

Здесь надо иметь в виду следующее. Среди сил, действующих на равномерно и прямолинейно движущиеся тела, обычно есть силы, действующие в направлении движения, которые мы создаем намеренно, например сила тяги двигателя самолета или сила мускулов человека, везущего сайки. Часто говорят даже: «самолет летит, так как на него действует сила тяги двигателя», «санки скользят, так как на них действует усилие тянущего человека», и т. д. При этом, однако, зачастую упускают из виду силы, направленные противоположно движению: сопротивление воздуха для летящего самолета, трение полозьев о снег для санок и т. д. Для равномерности и прямолинейности движения необходимо, чтобы намеренно созданные силы как раз уравновешивали силы сопротивления. В предыдущих параграфах, говоря о движении по инерции или о покое тел, мы рассматривали именно такие случаи; например, при качении шарика по стеклу сила тяжести уравновешивалась силой упругости стекла.

Причина того, что силы сопротивления часто ускользают от внимания учащихся в противоположность бросающимся в глаза «движущим» силам, заключается в следующем. Чтобы создать силу тяги, на самолет нужно поставить двигатель, сжигать в нем бензин; чтобы двигать санки, нужно тянуть за веревку, утомлять свои мускулы. В то же время силы сопротивления возникают, так сказать, «бесплатно», благодаря лишь наличию движения. Для их возникновения при движении тела не нужно ни моторов, ни мускульных усилий; их источник либо в невидимом воздухе, либо в частицах снега, соприкасающихся с полозьями. Чтобы обратить на эти силы внимание, их нужно еще обнаружить, в то время как «движущие» силы - предмет нашей специальной заботы и затрат усилий и материалов.

До исследований Галилея считалось, что если на тело будет действовать одна сила, то оно будет двигаться равномерно в направлении этой силы; здесь, конечно, упускалась из виду сила трения. Действие силы, направленной вперед, действительно необходимо для равномерности движения, но именно для того, чтобы уравновешивать силу трения.

Тело движется без ускорения как в случае, когда на него не действуют никакие силы, так и в случае, когда действующие силы уравновешивают друг друга. Однако принято говорить, что тело движется «по инерции» только в том случае, если в направлении движения силы отсутствуют: силы, направленной вперед, нет, а силой трения или сопротивления среды можно пренебречь.

Для лучшего уяснения сказанного рассмотрим еще, как возникает из состояния покоя равномерное прямолинейное движение. Возьмем для примера электровоз, везущий поезд. В первый момент, когда двигатель включен, но поезд еще не тронулся, сила тяги электровоза, действующая через сцепку на состав, уже велика и превосходит силу трения колес вагонов о рельсы (как возникает сама сила тяги, будет объяснено в § 66). Поэтому поезд начинает двигаться вперед с ускорением. По мере увеличения скорости силы сопротивления (трение колес и сопротивление воздуха) растут, но, пока они остаются меньше силы тяги, скорость поезда продолжает расти. При дальнейшем увеличении скорости избыток силы тяги по сравнению с силами сопротивления будет делаться все меньше и меньше, и наконец эти силы сравняются друг с другом. Тогда исчезнет и ускорение: дальнейшее движение будет равномерным.

Если увеличить силу тяги, то равновесие сил нарушится, поезд снова получит ускорение вперед. Скорость снова будет расти, пока возрастающее с увеличением скорости сопротивлениене уравновесит новую, увеличенную силу тяги. Обратно, если уменьшить силу тяги, то равновесие сил снова нарушится, поезд получит отрицательное ускорение (так как теперь сила сопротивления будет больше силы тяги электровоза) и будет замедлять свое движение. Но при этом будет уменьшаться и сила сопротивления, и, когда она сравняется с уменьшенной силой тяги, движение снова станет равномерным, но уже при меньшей скорости. Наконец, при выключении тяги скорость поезда будет непрерывно убывать вследствие продолжающегося действия сил сопротивления, пока поезд не остановится.

• Сила упругости возникает вследствие деформации тела, то есть изменения его формы. Сила упругости обусловлена взаимодействием частиц, из которых состоит тело.
• Силу, действующую на тело со стороны опоры, называют силой нормальной реакции.
• Две силы уравновешивают друг друга, если эти силы равны по модулю и направлены противоположно. Например, уравновешивают друг друга сила тяжести и сила нормальной реакции, действующие на лежащую на столе книгу.

• Силу, с которой тело давит на опору или растягивает подвес вследствие притяжения тела Землей, называют весом тела.
• Вес покоящегося тела равен действующей на это тело силе тяжести: для покоящегося тела массой m модуль веса Р = mg.
• Вес тела приложен к опоре или подвесу, а сила тяжести - к самому телу.
• Состояние, при котором вес тела равен нулю, называют состоянием невесомости. В состоянии невесомости находятся тела, на которые действует только сила тяжести.

Вопросы и задания

Первый уровень

1. Что такое сила упругости? Приведите несколько примеров такой силы. Чем обусловлено возникновение этой силы?
2. Что такое сила нормальной реакции? Приведите пример такой силы.
3. В каком случае две силы уравновешивают друг друга?
4. Что такое вес тела? Чему равен вес покоящегося тела?
5. Чему примерно равен ваш вес?
6. Какую распространенную ошибку совершает человек, когда говорит, что его вес 60 килограммов? Как исправить эту ошибку?
7. Масса Андрея 50 кг, а Борис весит 550 Н. У кого из них больше масса?

   Второй уровень

8. Приведите собственные примеры случаев, когда деформация тела, вызывающая появление силы упругости, заметна на глаз и когда она незаметна.
9. Чем отличается вес от силы тяжести и что у них общего?
10. Изобразите силы, действующие на лежащий на столе брусок. Уравновешивают ли эти силы друг друга?
11. Изобразите силы, с которыми лежащий на столе брусок действует на стол, а стол - на брусок. Почему нельзя считать, что эти силы уравновешивают друг друга?
12. Всегда ли вес тела равен действующей на это тело силе тяжести? Обоснуйте свой ответ примером.
13. Тело какой массы вы смогли бы поднять на Луне?
14. Что такое состояние невесомости? При каком условии тело находится в состоянии невесомости?
15. Можно ли находиться в состоянии невесомости вблизи поверхности Луны?
16. Составьте задачу на тему «Вес», чтобы ответ у задачи был: «На Луне смог бы, а на Земле - нет».

Домашняя лаборатория

1. Какие силы и со стороны каких тел действуют на вас, когда вы стоите? Чувствуете ли вы действие этих сил?
2. Попробуйте побывать в состоянии невесомости.

2.1.6 Аксиома 6 , аксиома отвердевания

Если деформируемое (не абсолютно твердое) тело находится в равновесии под действием некоторой системы сил, то равновесие его не нарушается и после того, как оно отвердеет (станет абсолютно твердым).

Принцип отвердевания приводит к выводу о том, что наложение дополнительных связей не изменяет равновесия тела и позволяет рассматривать деформируемые тела (тросы, цепи и пр.), находящиеся в равновесии, как абсолютно твердые тела и применять к ним методы статики.

Упражнения Консультации

6. На рисунке изображены пять эквивалентных систем сил. На основании каких аксиом или свойств сил доказанных на их основании, осуществлены преобразования исходной (первой) системы сил в каждую из последующих (первой во вторую, первой в третью и т.д.)	6.1Система сил (1.) преобразована в систему сил (2.) на основании аксиомы присоединения или отбрасывания систем взаимно уравновешивающихся сил и . При присоединении или отбрасывании таких систем сил полученная система сил остается эквивалентной исходной системе сил и кинематическое состояние тела не изменяется. 6.2 Система сил (1.) преобразована в систему сил (3.) на основании свойства силы: силу можно переносить вдоль ее линии действия в пределах данного тела в любую точку, при этом кинематическое состояние тела или эквивалентность системы сил не изменяется. 6.3Система сил (1.) преобразована в систему сил (4.) путем переноса сил и вдоль их линии действия в точку С , а следовательно системы сил (1.) и (4.) эквивалентны. 6.4Система сил (1.) преобразована в систему сил (5.) путем перехода от системы сил (1.) к системе сил (4.) и сложения сил и в точке С на основании аксиомы о равнодействующей двух сил, приложенных в одной точке.
7. Вычислите равнодействующую двух сил Р 1 и Р 2 , если: 7 а ) Р 1 = Р 2 = 2 Н, φ = 30º; 7б ) Р 1 = Р 2 = 2 Н , φ = 90º.	7. Модуль равнодействующей сил Р 1 и Р 2 определяется по формуле: 7, а ) ; R = 3,86 Н . 7, б ) cos 90º = 0;
8. Сделайте рисунок и найдите равнодействующую для случаев: 8 а ) Р 1 = Р 2 = 2 Н , φ = 120º; 8 б ) Р 1 = Р 2 = 2 Н , φ = 0º; 8 в ) Р 1 = Р 2 = 2 Н , φ = 180º.	8 а ) ; R = 2H. 8 б ) cos 0º = 1; R = Р 1 +Р 2 = 4 Н. 8 в ) cos 180º = –1; R = Р 2 –Р 1 = 2 – 2 = 0. Примечание : если Р 1 ≠Р 2 и Р 1 > Р 2 , то R направлена в ту же сторону, что и сила Р 1 .

Основная:

1). Яблонский А.А., Никифорова В.Л. Курс теоретической механики. М., 2002. с. 8 – 10.

2). Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М., 2002. с. 11 – 15.

3). Цывильский В.Л. Теоретическая механика. М., 2001. с. 16 – 19.

4) Аркуша А.И. Руководство к решению задач по теоретической механике. М., 2000. с. 4 – 20.

Дополнительная:

5). Аркуша А.И. Техническая механика. М., 2002. с. 10 – 15.

6). Чернышов А.Д. Статика твердого тела. Красн-к., 1989. с. 13 – 20.

7). Эрдеди А.А. Теоретическая механика. Сопротивление материалов. М., 2001. с. 8 – 12.

8) Олофинская В.П. Техническая механика. М., 2003. с. 5 – 7.

Вопросы для самоконтроля

1. Привести примеры, иллюстрирующие аксиомы статики.

2. Объяснить положение: аксиомы статики установлены опытным путем.

3. Привести примеры применения аксиом статики в технике.

4. Сформулируйте аксиому о равновесии двух сил.

5. Назовите простейшую систему сил эквивалентную нулю.

6. В чем сущность аксиомы присоединения и исключения уравновешенной системы сил?

7. В чем физический смысл аксиомы отвердевания?

8. Сформулируйте правило параллелограмма сил.

9. Что выражает аксиома инерции?

10. Являются ли условия равновесия абсолютно твердого тела необходимыми и достаточными для равновесия деформируемых тел?

11. Приведите формулировку аксиомы равенства действия и противодействия.

12. В чем принципиальная ошибка выражения «действие и противодействие уравновешиваются»?

13. Как направлена равнодействующая R системы сил, если сумма проекций этих сил на ось OY равна нулю?

14. Как определяется проекция силы на ось?

15. Изложить алгоритм (порядок)определения модуля равнодействующей Fz, если заданы:

а) модуль и направление одной составляющей F, а также направления другой составляющей F 2 и равнодействующей;

б) модули обеих составляющих и на­правление равнодействующей;

в) направления обеих составляющих и равнодействующей.

Тесты по теме

1.	На рисунке изображены две силы, линии действия которых лежат в одной плоскости. Можно ли найти их равнодействующую по правилу параллелограмма? а) Можно. б) Нельзя.
2.	Вставьте пропущенное слово. Проекция вектора на ось является … величиной. а) векторной; б) скалярной.
3.	В каком из случаев, указанных на рисунках а), б) и в), перенос силы из точки А в точки В , С или Д не изменит механического состояния твердого тела? а) б) в)
4.	На рис. б) (см. пункт 3) изображены две силы, линии действия которых, лежат в одной плоскости. Можно ли найти их равнодействующую по правилу параллелограмма? а) Можно; б) Нельзя.
5.	При каком значении угла между двух сил F 1 и F 2 их равнодействующая определяется по формуле F S = F 1 + F 2 ? а) 0°; б) 90° ; в) 180°.
6.	Чему равна проекция силы на ось y? а) F×sina; б) -F×sina; в) F×cosa; г) – F×cosa.
7.	Если к абсолютно твердому телу приложить две силы, равные по модулю и направленные по одной прямой в противоположные стороны, то равновесие тела: а) Нарушится; б) Не нарушится.
8.	При каком значении угла между двух сил F 1 и F 2 их равнодействующая определяется по формуле F S = F 1 - F 2 ? а) 0°; б) 90°; в) 180°.
9.	Определить направление вектора силы , если известно: Р х = 30Н, Р y = 40Н. а) cos = 3/4; cos = 0. б) cos = 0; cos = 3/4. в) cos = 3/5; cos = 4/5. г) cos = 3/4; cos = 1/2.
10.	Чему равен модуль равнодействующей двух сил? а) ; б) ; в) ; г) .
11.	Укажите правильное выражение для расчета проекции силы на ось х, если модуль силы Р = 100 Н,; . а) Н. б) Н. в) Н. г) Н. д) Правильного решения нет.
12.	Можно ли силу, приложенную к твердому телу, переносить вдоль линии действия без изменения действия силы на тело? а) Можно всегда. б) Нельзя ни при каких условиях. в) Можно, если на тело не действуют другие силы.
13.	Результат сложения векторов называется… а) геометрической суммой. б) алгебраической суммой.
14.	Можно ли силу в 50 Н разложить на две силы, например, по 200 Н каждая? а) Можно. б) Нельзя.
15.	Результат вычитания векторов называется… а) геометрической разностью. б) алгебраической разностью.
16.	а) F x = F×sina. б) F x = -F×sina. в) F x = -F×cosa . г) F x = F×cosa.
17.	Является ли сила скользящим вектором? а) Является. б) Не является.
18.	Две системы сил уравновешивают друг друга. Можно ли утверждать, что их равнодействующие равны по модулю и направлены по одной прямой? а) Да. б) Нет.
19.	Определить модуль силы Р, если известны: Р х = 30 Н, Р y = 40 Н. а) 70 Н; б) 50 Н; в) 80 Н; г) 10 Н; д) Нет правильного ответа.
20.	Чему равна проекция силы на ось y ? а) Р y = P×sin60°; б) Р y = P×sin30°; в) Р y = - P×cos30°; г) Р y = -P×sin30°; д) Нет правильного ответа.
21.	Зависят ли модуль и направление равнодействующей от порядка, в котором откладываются складываемые силы? а) Зависят; б) Не зависят.
22.	При каком значении угла a между вектором силы и осью проекция силы на эту ось равна 0? а) a = ; б) a = 9°;в) a = 180°; г) a = 6°; д) Нет правильного ответа.
23.	Чему равна проекция силы на ось х? а) -F×sina; б) F×sina; в) -F×cosa; г) F×cosa.
24.	Определите модуль силы , если известны её проекции на оси x и y. а) ; б) ; в) ; г) .
25.	Могут ли силы действия и противодействия взаимно уравновешиваться? а) Не могут; б) Могут.
26.	Абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием двух равных по величине сил F 1 и F 2 . Нарушится ли равновесие тела, если эти силы будут перенесены, как показано на рисунке? а) Нарушится; б) Не нарушится.
27.	Проекция вектора на ось равна: а) произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и положительным направлением оси координат; б) произведению модуля вектора на синус угла между вектором и положительным направлением оси координат.
28.	Почему силы действия и противодействия не могут взаимно уравновешиваться? а) Эти силы не равны по модулю; б) Они не направлены по одной прямой; в) Они не направлены в противоположные стороны; г) Они приложены к разным телам.
29.	В каком случае две силы, действующие на твердое тело можно заменить их геометрической суммой? а) В состоянии покоя; б) В любом случае; в) При движении; г) В зависимости от дополнительных условий.

2.5 Задания для самостоятельной работы студентов

1). Изучить подраздел 2.1 данного методического указания, проработав предложенные упражнения.

2) Ответить на вопросы для самоконтроля и тесты по данному разделу.

3). Сделать дополнения в своем конспекте лекций, обращаясь также к рекомендуемой литературе.

4). Изучить и сделать краткий конспект следующего раздела «Действие над векторами » (4, с. 4-20), (7, с. 13,14):

1.Сложение векторов. Правила параллелограмма, треугольника и многоугольника. Разложение вектора на два составляющих. Разность векторов.

3. Сложение и разложение векторов графоаналитическим способом.

4. Решить самостоятельно следующие номера задач (4, с. 14-16, 19): 6-2 ,8-2 ,9-2 ,10-2 ,13-3 ,14-3 .

Связи и их реакции

Понятия связей

Как уже отмечалось, в механике тела могут быть свободными и несвободными. Системы материальных тел (точек), положения и движения, которых подчинены некоторым геометрическим или кинематическим ограничениям, заданным наперед и не зависящим от начальных условий и заданных сил, называется несвободной. Эти ограничения, наложенные на систему и делающие ее несвободной, называются связями . Связи могут осуществляться с помощью различных физических средств: механических соединений, жидкостей, электромагнитных или других полей, упругих элементов.

Примерами несвободных тел являются груз, лежащий на столе, дверь, подвешенная на петлях, и т.п. Связями в этих случаях будут: для груза – плоскость стола, не дающая грузу перемещаться по вертикали вниз; для двери – петли, не дающие двери отойти от косяка. Связями также являются тросы для грузов, подшипники для валов, направляющие для ползунов и т.д.

Подвижно соединенные детали машин могут соприкасаться по плоской или цилиндрической поверхности, по линии или по точке. Наиболее распространен контакт между подвижными частями машин по плоскости. Так контактируют, например, ползун и направляющие пазы кривошипно-шатунного механизма, задняя бабка токарного станка и направляющие станины. По линии соприкасаются ролики с кольцами подшипника, опорные катки с цилиндрическим каркасом опрокидывателя вагонеток и т.д. Точечный контакт образуется в шарикоподшипниках между шариками и кольцами, между острыми опорными частями и плоскими деталями.

Подвесьте пружину (рис. 1, а) и потяните ее вниз. Растянутая пружина будет действовать на руку с некоторой силой (рис. 1, б). Это сила упругости.

Рис. 1. Опыт с пружиной: а — пружина не растянута; б — растянутая пружина действует на руку с силой, направленной вверх

Из-за чего возникает сила упругости? Легко заметить, что сила упругости действует со стороны пружины только тогда, когда она растянута или сжата, то есть ее форма изменена. Изменение формы тела называют деформацией.

Сила упругости возникает вследствие деформации тела.

В деформированном теле расстояния между частицами немного изменяются: если тело растянуто, то расстояния увеличиваются, а если сжато, то уменьшаются. В результате взаимодействия частиц и возникает сила упругости. Она направлена всегда так, чтобы уменьшить деформацию тела.

Всегда ли деформацию тела можно заметить? Деформацию пружины легко заметить. А деформируется ли, например, стол под лежащей на нем книгой? Казалось бы, должен: ведь иначе со стороны стола не возникла бы сила, которая не дает книге провалиться сквозь стол. Но на глаз деформация стола не заметна. Однако это еще не означает, что ее нет!

Поставим опыт

Установим на столе два зеркала и направим на одно из них узкий пучок света так, чтобы после отражения от двух зеркал на стене появился маленький световой зайчик (рис. 2). Если коснуться рукой одного из зеркал, зайчик на стене сместится, потому что его положение очень чувствительно к положению зеркал — в этом и заключается «изюминка» опыта.

Положим теперь на середину стола книгу. Мы увидим, что зайчик на стене тотчас сместился. А это означает, что стол действительно чуть прогнулся под лежащей на нем книгой.

Рис. 2. Этот опыт доказывает, что стол чуть-чуть прогибается под лежащей на нем книгой. Из-за этой деформации и возникает сила упругости, поддерживающая книгу

На этом примере мы видим, как с помощью искусно поставленного опыта можно сделать незаметное заметным.

Итак, при незаметных на глаз деформациях твердых тел могут возникать большие силы упругости: благодаря действию именно этих сил мы не проваливаемся сквозь пол, опоры держат мосты, а мосты поддерживают идущие по ним тяжелые грузовики и автобусы. Но деформация пола или опор моста на глаз незаметна!

На какие из окружающих вас тел действуют силы упругости? Со стороны каких тел они приложены? Заметна ли на глаз деформация этих тел?

Почему не падает лежащее на ладони яблоко? Сила тяжести действует на яблоко не только когда оно падает, но и когда оно лежит на ладони.

Почему же тогда лежащее на ладони яблоко не падает? Потому, что на него действует теперь не только сила тяжести Fт, но и сила упругости со стороны ладони (рис. 3).

Рис. 3. На яблоко, лежащее на ладони, действуют две силы: сила тяжести и сила нормальной реакции. Эти силы уравновешивают друг друга

Эту силу называют силой нормальной реакции и обозначают N. Такое название силы объясняется тем, что она направлена перпендикулярно поверхности, на которой находится тело (в данном случае — поверхности ладони), а перпендикуляр называют иногда нормалью.

Действующие на яблоко сила тяжести и сила нормальной реакции уравновешивают друг друга: они равны по модулю и направлены противоположно.

На рис. 3 мы изобразили эти силы приложенными в одной точке — так делают, если размерами тела можно пренебречь, то есть можно заменить тело материальной точкой.

Вес

Когда яблоко лежит на ладони, вы чувствуете, что оно давит на ладонь, то есть действует на ладонь с силой, направленной вниз (рис. 4, а). Эта сила — вес яблока.

Вес яблока можно почувствовать также, подвесив яблоко на нити (рис. 4, б).

Рис. 4. Вес яблока Р приложен к ладони (а) или нити, на которой подвешено яблоко (б)

Весом тела называют силу, с которой тело давит на опору или растягивает подвес вследствие притяжения тела Землей.

Вес обозначают обычно Р. Расчеты и опыт показывают, что вес покоящегося тела равен действующей на это тело силе тяжести: Р = Fт = gm.

Решим задачу

Чему равен вес покоящейся килограммовой гири?

Итак, числовое значение веса тела, выраженное в ньютонах, примерно в 10 раз больше числового значения массы этого же тела, выраженного в килограммах.

Чему равен вес человека массой 60 кг? Чему равен ваш вес?

Как связаны вес и сила нормальной реакции? На рис. 5 изображены силы, с которыми действуют друг на друга ладонь и лежащее на ней яблоко: вес яблока Р и сила нормальной реакции N.

Рис. 5. Силы, с которыми действуют друг на друга яблоко и ладонь

В курсе физики 9-го класса будет показано, что силы, с которыми тела действуют друг на друга, всегда равны по модулю и противоположны по направлению.

Приведите пример уже известных вам сил, которые уравновешивают друг друга.

На столе лежит книга массой 1 кг. Чему равна сила нормальной реакции, действующая на книгу? Со стороны какого тела она приложена и как она направлена?

Чему равна действующая на вас сейчас сила нормальной реакции?