Дифференциальное уравнение бесселя. Уравнение Функции Бесселя Дифференциальное уравнение Г-функция Эйлера и ее свойства Рекуррентные формулы для функций Бесселя полуцелого индекса Нули бесселевых функций Ортогональность и норма Функции Неймана (Вебера) Ин

Бесселевыми, или цилиндрическими, функциями называются решения линейного дифференциального уравнения Бесселя

где z – комплексная переменная, ν – параметр, порядок, значок или индекс, также может быть произвольным комплексным числом.

В приложениях часто приходится рассматривать случай, когда ν = n – целое число. Под цилиндрическими функциями понимают следующие функции: функции Бесселя J ν (z ), функции Неймана N ν (z ), часто называемые функциями Вебера с обозначением Y ν (z ), и функции Ганкеля H ν (1) (z ), H ν (2) (z ). Названные функции при фиксированном
являются аналитическими функциямиz . Часто функции Бесселя приходится рассматривать при фиксированном z как функции значка ν . При этом они являются целыми функциями комплексной переменной ν .

Целой функцией называется аналитическая функция, представимая всюду сходящимся рядом Тейлора
.

Между функциями J ν (z ), N ν (z ) или Y ν (z ), H ν (1) (z ), H ν (2) (z ) существуют зависимости, аналогичные формулам Эйлера:

; .

С физической точки зрения, гармонические функции описывают незатухающие колебания постоянной частоты, в то время как функции Бесселя характеризуют слабозатухающий осциллирующий процесс, частота которого становится постоянной лишь в ассимптотике.

Отыскивая решение уравнения (6.13) в виде обобщённого степенного ряда
, гдеa m и a – подлежащие определению коэффициенты и значение параметра соответственно, получим два частных решения:

;
, (6.14)

которые при
являются линейно независимыми и их линейная комбинация образует общее решение уравнения (6.13). Если ν= n , то между функциями J п (z ) и J –п (z ) существует линейная зависимость вида
. Чтобы получить общее решение уравнения (6.13) дляν = n и вводится функция Неймана . ФункцииJ ν (z ) и N ν (z ) образуют фундаментальную линейно независимую систему решений уравнения Бесселя при любых значениях v , в том числе и при целых.

Функции Бесселя чисто мнимого аргумента (модифицированные функции Бесселя). Если считать, что
, гдеx – вещественная переменная, то подставляя это значение в (6.14), получим:

;
.

Входящие в эти выражения ряды и определяют модифицированные функции Бесселя

;
. (6.15)

То, что ряды (6.14) являются знакопеременными, а (6.15) – знакопостоянными, определяет резкое различие в их поведении (см. рис. 6.9 и 6.10, на которых представлены графики функций J n (x ) и I n (x ) соответственно).

Далее будем считать аргумент функции Бесселя вещественным числом х . Правило дифференцирования функций Бесселя определяется следующим рекуррентным соотношением:
. В частности, при
с учётом того, что
, получим:
.

Три соседних по значку функций Бесселя связаны соотношением

. (6.16)

Аналогичные формулы справедливы и для модифицированных функций Бесселя:

;
.

Из определения (6.15), учитывая поведение гамма-функции при отрицательных целых значениях аргумента, нетрудно показать, что I  n (x ) = I n (x ) и, следовательно,
.

При полуцелом значке
, гдеn – целое число, функции Бесселя выражаются через элементарные функции, так как выполняются соотношения
и
, что позволяет с помощью рекуррентного соотношения (6.16) определить
, и так далее.

Общие выражения для функций Бесселя полуцелого значка имеют вид
и
, где символ
означаетп- кратное дифференцирование стоящего за ним выражения с умножением результата на
после каждого дифференцирования.

Последующее дифференцирование проводится с учетом этого множителя. Например,

Приведенные выражения еще раз подчеркивают осциллирующий и слабозатухающий характер поведения функций Бесселя.

При изучении асимптотического поведения функции Бесселя рассматривают разные сценарии поведения аргумента z и значка v . Наиболее интересным и простым является случай, когда v фиксировано, а
. В этом случае первое приближение для
имеет вид

,

и, соответственно,
.

Особенностью функций Бесселя является увеличение с ростом v промежутка
на котором функция Бесселя близка к нулю.

Важную роль в изучении функций Бесселя играют производящие функции. Так, например, если разложить функцию
комплексной переменнойz и вещественной t в ряд Лорана в окрестности существенно особой точки z = 0, то получим
.

Полагая
и записывая условия равенства комплексных чисел, получим два важных для практики разложения:

откуда следует, что

;
. (6.17)

Пользуясь тем, что
и учитывая четность косинуса и нечетность синуса, эти выражения можно записать в виде

;
.

Если заменить в этих выражениях на
, то получим

;
.

Эти разложения носят имя Якоби, впервые их получившего.

Умножая левую и правую части первого равенства (6.17) на
, а вторую на
и интегрируя от 0 до, получим:

Складывая эти равенства, находим, что при любом п :

.

Этот интеграл, который можно рассматривать как интегральное представление функции Бесселя с целым значком, называется интегралом Бесселя. При п = 0 интеграл Бесселя обращается в интеграл Парсеваля:

.

Для произвольного значка v при условии
справедлива формула Пуассона

.

Убедиться в том, что при v = 0 мы получим интеграл Парсеваля, предлагается читателю самостоятельно.

Для модифицированных функций Бесселя
при
справедливо интегральное представление Пуассона

.

Приv = 0 с помощью замены переменной
можно получить интегральное представление

.

Во многих задачах оказываются полезными теоремы сложения для бесселевых (цилиндрических) функций, простейшей из которых является следующая.

Пусть
– стороны треугольника, приведенного на рис. 6.11, аи– его углы, лежащие против сторонитак, что в соответствии с теоремами косинусов и синусов
и
. Тогда для
имеет место разложение вида

,

называемое формулой Неймана, где
– символ Неймана.

Поскольку при замене R  R , r 1  r 1 , r 2  r 2 углы  и  не изменятся, то приведенную выше формулу можно записать в следующем виде:

.

При  = j с учетом того, что J k (x ) = j k I k (x ), k = 0, 1, 2, …, получим:

.

Для произвольного значка v теоремы сложения для J v (R ) и I v (R ) примут вид:

,

.

Нули цилиндрических функций и разложение функций в ряды Фурье  Бесселя. Как уже отмечалось, нули базовой или материнской функции определяют масштабный коэффициент при построении базисной системы на основе функций Бесселя. Рассмотрим уравнение
. Корни этого уравнения называются нулями функции Бесселя
и обозначаются как

Нули функций Бесселя
и
перемежаются. Можно показать , что система функций
, где
–n -й корень уравнения
, ортогональна на промежутке
с весомx , т. е.

Так как нули соседних по индексу функций Бесселя перемежаются, то
.

Если функция f (x ) кусочно-непрерывна и обладает ограниченным изменением в любом интервале (c , d ), удовлетворяющем условию 0 < c < d < a , и

существует интеграл
, то ряд Фурье–Бесселя
, где
, сходится и имеет сумму, т. е. совпадает с
в каждой точке ее непрерывности.

Приведем пример использования функций Бесселя в типичной задаче радиотехники.

Спектр частотномодулированного (ЧМ) колебания при гармоническом законе модуляции. Найдем спектр сигнала, мгновенная частота которого равна, где
– девиация частоты,
– несущая частота,
– частота модуляции. Так как фаза колебания
, то в нашем случае
. Отношение
называется индексом модуляции. Как мы увидим из дальнейшего, именно он определяет структуру спектра ЧМ-колебания при гармоническом законе модуляции.Произвольную постоянную – начальную фазу  без потери общности можно положить равной нулю. Таким образом, исследуемый сигнал имеет вид:

где
– амплитуда колебания.

Используя известную формулу , запишем наш сигнал в виде

Применяя разложения (6.17) и упомянутую тригонометрическую формулу, получим окончательное выражение для спектра ЧМ-колебания при гармоническом законе модуляции:

.

Таким образом, спектр исследуемого сигнала имеет дискретный характер, причем амплитуды гармоник определяются номером n и индексом модуляции. Учитывая осциллирующий характер поведения функций Бесселя, отметим что при изменении индекса модуляции меняются соотношения между амплитудами гармоник.

Обращаясь к рис. 6.9, нетрудно заметить, что при
отличными от нуля будут лишь функции
,
и
; напомним что
и
отличаются только знаком. Таким образом, при

Если к этому добавить, что при
можно полагать
и
, то окончательно получим:

Следует заметить, что такой же амплитудный спектр имеет амплитудномодулированное колебание с гармоническим законом модуляции. Убедиться в этом мы предлагаем читателю.

С ростом индекса модуляции число отличных от нуля гармоник растет и спектр колебания расширяется. Так как высокое качество ЧМ-передач можно обеспечить при больших индексах модуляции, то становится понятным, почему качественное стереовещание ведется в УКВ-диапазоне, а не на длинных и средних волнах.

Интегральный оператор Фредгольма вида
, где ядром
являются функции Бесселя или связанные с ними функции, определяет преобразование Бесселя. Одним из наиболее часто используемых частных случаев этого преобразования является преобразование Ганкеля

, .

Обратный оператор (формула обращения) имеет вид

.

С другими случаями применения преобразования Бесселя можно познакомиться с помощью .

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСВТЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Экономический факультет

Кафедра математики и информатики

Курсовая работа

на тему:

Функции Бесселя

Выполнил студент 2 курса

группы ПМиИ-08

Александрова А.Ю._______

«___»____________2010г.

Научный руководитель

к.ф.-м.н., ст. пр.

Сидоренко О.Г._______

«___»____________2010г.

Стерлитамак 2010

Введение

1 Функции Бесселя с целым положительным значком

2 Функции Бесселя с произвольным значком

3 Общее представление цилиндрических функций. Функции Бесселя второго рода

4 Разложение в ряд функции Бесселя второго рода с целым значком

5 Функции Бесселя третьего рода

6 Функции Бесселя мнимого аргумента

7 Цилиндрические функции с индексом, равным половине нечетного целого числа

8 Асимптотические представления цилиндрических функций для больших значений аргумента

9 Нули цилиндрических функций

Заключение

Список литературы

Введение

Цилиндрическими функциями называются решения линейного дифференциального уравнения второго порядка

где – комплексное переменное,

Термин «цилиндрические функции» обязан своим происхождением тому обстоятельству, что уравнение (1) встречается при рассмотрении краевых задач теории потенциала для цилиндрической области.

Специальные классы цилиндрических функций известны в литературе под названием функций Бесселя, и иногда это наименование присваивается всему классу цилиндрических функций.

Хорошо разработанная теория рассматриваемых функций, наличие подробных таблиц и широкая область применений служат достаточным основанием для того, чтобы отнести цилиндрические функции к числу наиболее важных специальных функций.

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

1) электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;

2) теплопроводность в цилиндрических объектах;

3) формы колебания тонкой круглой мембраны;

4) скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Цилиндрические функции Бесселя являются самыми распространенными из всех специальных функций. Они имеют многочисленные приложения во всех естественных и технических науках (особенно в астрономии, механике и физике). В ряде задач математической физики встречаются цилиндрические функции, в которых аргумент или индекс (иногда и тот и другой) принимают комплексные значения. Для численного решения таких задач необходимо разработать алгоритмы, позволяющие вычислять функции Бесселя с высокой точностью.

Цель курсовой работы: изучение функций Бесселя и применение их свойств в решении дифференциальных уравнений.

Задачи:

1) Изучить уравнение Бесселя и модифицированное уравнение Бесселя.

2) Рассмотреть основные свойства функций Бесселя, асимптотические представления.

3) Решить дифференциальное уравнение с использованием функции Бесселя.

1 Функции Бесселя с целым положительным значком

Для рассмотрения многих проблем, связанных с применением цилиндрических функций, достаточно ограничиться изучением специального класса этих функций, который соответствует случаю, когда параметр в уравнении (1) равен нулю или целому положительному числу.

Исследование данного класса носит более элементарный характер, чем теория, относящаяся к произвольным значениям , и может служить хорошим введением в эту общую теорию.

Покажем, что одним из решений уравнения

0, 1, 2, …, (1.1)

является функция Бесселя первого рода порядка , которая для любых значений определяется как сумма ряда

(1.2)

При помощи признака Даламбера легко убедиться, что рассматриваемый ряд сходится на всей плоскости комплексного переменного и, следовательно, представляет целую функцию от .

Если обозначить левую часть уравнения (1.1) через и ввести сокращенную запись коэффициентов ряда (1.2), положив

то в результате подстановки получим

откуда следует так как выражение в фигурных скобках равно нулю. Таким образом, функция удовлетворяет уравнению (1.1), т. е. представляет собой цилиндрическую функцию.

Простейшими функциями рассматриваемого класса являются функции Бесселя порядка нуль и единица:

(1.3)

Покажем, что функции Бесселя других порядков могут быть выражены через эти две функции. Для доказательства предположим, что а - целое положительное число, умножим ряд (1.2) на и продифференцируем по . Мы получим тогда

(1.4)

Аналогичным образом, умножая ряд на находим

(1.5)

Выполнив дифференцирование в равенствах (1.4 – 1.1) и разделив на множитель , приходим к формулам:

(1.6)

откуда непосредственно следует:

(1.7)

Полученные формулы известны под названием рекуррентных соотношений для функций Бесселя.

Первое из соотношений дает возможность выразить функцию произвольного порядка через функции порядков нуль и единица, что существенным образом сокращает работу по составлению таблиц функций Бесселя.

Второе соотношение позволяет представить производные от функций Бесселя через функции Бесселя. Для это соотношение должно быть заменено формулой

(1.9)

непосредственно вытекающей из определения данных функций.

Функции Бесселя первого рода просто связаны с коэффициентами разложения функции в ряд Лорана ):

(1.10)

Коэффициенты этого разложения могут быть вычислены путем перемножения степенных рядов:

и объединения членов, содержащих одинаковые степени . Выполнив это, получим:

(1.11)

откуда следует, что рассматриваемое разложение может быть записано в виде

Функция называется производящей функцией для функций Бесселя с целым значком; найденное соотношение (1.12) играет важную роль в теории этих функций.

Для получения общего интеграла уравнения (1.1), дающего выражение произвольной цилиндрической функции с целым значком , необходимо построить второе решение уравнения, линейно независимое с . В качестве такого решения может быть взята функция Бесселя второго рода, исходя из определения которой нетрудно получить для аналитическое выражение в виде ряда

где

( – постоянная Эйлера) и, в случае , первую из сумм надлежит положить равной нулю.

Функция регулярна в плоскости с разрезом . Существенная особенность рассматриваемого решения состоит в том, что оно обращается в бесконечность, когда . Общее выражение цилиндрической функции для представляет линейную комбинацию построенных решений

где и – произвольные постоянные,

2 Функции Бесселя с произвольным значком

бессель цилиндрическая функция

Функции Бесселя, рассмотренные в пункте 1, составляют частный случай цилиндрических функций более общего вида, известных под названием функций Бесселя первого рода с произвольным значком . Чтобы определить эти функции, рассмотрим ряд

где – комплексное переменное, принадлежащее плоскости с разрезом

– параметр, который может принимать любые вещественные или комплексные значения.

Легко видеть, что данный ряд сходится при любых и , причем в области , ( – произвольно большие фиксированные числа) сходимость равномерна по отношению к каждому из переменных.

Действительно, начиная с достаточного большого , отношение модулей последующего члена ряда к предыдущему, равное величине

не будет превосходить некоторой правильной положительной дроби , не зависящей от и . Отсюда, согласно известному признаку сходимости, следует, что рассматриваемый ряд сходится равномерно в указанной области .

Так как члены ряда представляют собой регулярные функции в плоскости с разрезом сумма ряда определяет некоторую функцию комплексного переменного , регулярную в рассматриваемой разрезанной плоскости. Эта функция называется функцией Бесселя первого рода с индексом и обозначается символом . Таким образом,

(2.1)

Нетрудно показать, что определенная таким образом функция есть частное решение уравнения

(2.2)

Действительно, обозначая левую часть этого уравнения и полагая , мы находим, так же как в пункте 1,

где – коэффициенты ряда (2.1),

откуда следует, что

Так как при фиксированном , принадлежащем плоскости с разрезом члены ряда (2.1) представляют собой целые функции переменного , то из равномерной сходимости по отношению к этому переменному вытекает, что функция Бесселя первого рода, рассматриваемая как функция своего значка, есть целая функция . При целом и ряд (2.1) переходит в ряд (1.2), поэтому функции, определенные в настоящем параграфе, являются обобщением функций Бесселя с целым положительным значком, изученных в пункте 2. При равном целому отрицательному числу , первые членов ряда (2.1) обращаются в нуль, и рассматриваемая формула может быть записана в виде

откуда следует

(2.3)

Таким образом, функции Бесселя с отрицательным целым значком отличаются от соответствующих функций с положительным значком только постоянным множителем.

Полученное соотношение вместе с формулами (1.10 – 1.11) показывает, что разложение (1.12) может быть записано в виде

(2.4)

Многие равенства, установленные ранее для функций Бесселя с целым положительным значком, переносятся на функции с произвольным индексом без каких-либо изменений. Так, например, имеют место соотношения:

(2.5)

(2.6)

(2.7)

представляющие собой обобщение соответствующих формул пункта 2. Доказательство формул (2.5 – 2.6) повторяет рассуждения этого параграфа и поэтому не приводится. Формулы (2.7) получаются путем повторного применения равенств (2.6).

3 Общее представление цилиндрических функций. Функции Бесселя второго рода

По определению цилиндрическая функция есть произвольное решение дифференциального уравнения второго порядка

(3.1)

поэтому общее ее выражение содержится в форме

где и – какие-либо линейно независимые решения рассматриваемого уравнения, и – постоянные, являющиеся, вообще говоря, произвольными функциями параметра . Легко получить общее выражение цилиндрической функции для случая, когда отлично от целого числа. Действительно, выбрав , где – функция Бесселя, определенная в пункте 2, мы можем взять в качестве функцию , которая также является решением уравнения (3.1), так как последнее не меняется при замене на .

Если не равно целому числу, асимптотическое поведение рассматриваемых решений при будет

(3.3)

поэтому эти решения линейно независимы между собой и искомое выражение для цилиндрической функции может быть дано в виде

(3.4)

Если – целое число, то, в силу соотношения (2.3), построенные частные решения линейно зависимы между собой и найденное выражение (3.4) не является общим интегралом уравнения Бесселя (3.1). Чтобы получить представление произвольной цилиндрической функции, пригодное при любых значениях параметра , введем в рассмотрение функцию Бесселя второго рода , которую для произвольных , принадлежащих плоскости с разрезом , определим при помощи равенства

(3.5)

При равном целому числу правая часть рассматриваемого выражения приобретает неопределенный вид (2.3), и мы условимся понимать под значением функции в этом случае предел

(3.6)

Так как по доказанному числитель и знаменатель в (3.5) суть целые функции , рассматриваемый предел существует, и может быть вычислен по правилу Лопиталя, применение которого дает

(3.7)

Из определения функции следует, что эта функция регулярна в плоскости с разрезом , а при фиксированном представляет собой целую функцию параметра . Докажем теперь, что удовлетворяет уравнению (3.1), следовательно, является цилиндрической функцией. При , отличном от целого числа, требуемый результат непосредственно вытекает из формулы (3.4), поэтому достаточно провести доказательство только для случая

Проще всего воспользоваться для этого принципом аналитического продолжения. Так как – целая функция , то из равенства следует

Решения и линейно независимы между собой. Для этот результат является следствием линейной независимости решений и . Линейная независимость для вытекает из сопоставления поведения рассматриваемых функций при [формулы (3.3) и (3.4)]. Таким образом, общее выражение цилиндрической функции, пригодное при любых значениях , будет

Функции Бесселя второго рода удовлетворяют тем же рекуррентным соотношениям, что и функции первого рода, именно:

(3.9)

При , отличном от целого числа, справедливость этих формул вытекает из определения функции Бесселя второго рода и соответствующих формул для функций первого рода. Для целого требуемый результат следует из непрерывности рассматриваемых функций по отношению к значку , что позволяет осуществить в соотношениях (3.9) предельный переход

Отметим еще формулу

(3.10)

являющуюся следствием (3.7) и позволяющую свести вычисление функций с отрицательным целым значком к вычислению функций, индекс которых положителен.

При помощи замены переменных в уравнении (3.1) легко получить ряд других дифференциальных уравнений, общий интеграл которых может быть выражен через цилиндрические функции. Наиболее интересные для приложений уравнения этого типа являются различными частными случаями дифференциальных уравнений

(3.11)

общие интегралы которых соответственно будут:

(3.12)

где обозначает произвольную цилиндрическую функцию.

4 Разложение в ряд функции Бесселя второго рода с целым значком

Для того чтобы получить разложение в ряд функции , достаточно воспользоваться формулой (3.7) и вычислить производные по значку , исходя из разложения (2.1), причем, ввиду соотношения (3.10), можно ограничиться рассмотрением случая целых положительных

Так как ряд (2.1), по доказанному, сходится равномерно по отношению к , мы можем дифференцировать его почленно и получим тогда

где – логарифмическая производная гамма-функции.

Аналогично имеем

При и поэтому первые членов ряда принимают неопределенный вид. Воспользовавшись известными формулами теории гамма-функции

;

получим для таких

где введен новый значок суммирования

Из формулы (3.7) следует, что искомое разложение функции Бесселя второго рода с целым положительным значком имеет вид

где в случае первую сумму надлежит положить равной нулю.

Значения логарифмической производной гамма-функции могут быть вычислены по формулам:

(4.2)

где – постоянная Эйлера,

Принимая во внимание равенство (1.2), мы можем представить разложение (4.1) в несколько другом виде, именно:

(4.3)

Из (4.1) вытекает, что при справедливы асимптотические формулы

(4.4)

показывающие, что когда

5 Функции Бесселя третьего рода

К цилиндрическим функциям относятся также функции Бесселя третьего рода или функции Ханкеля и , которые для произвольного и , принадлежащего плоскости с разрезом вдоль полуоси , определяются при помощи формул

где – функции Бесселя первого и второго рода.

Целесообразность введения этих функций обусловлена тем, что рассматриваемые линейные комбинации из и обладают наиболее простыми асимптотическими разложениями при больших (пункт 8) и часто встречаются в приложениях.

Из определения функций Ханкеля следует, что эти функции представляют собой регулярные функции в плоскости с разрезом и целые функции . Очевидно, что рассматриваемые функции линейно независимы между собой и по отношению к , так что общий интеграл уравнения Бесселя (3.1) может быть, наряду с (3.8), представлен в одной из следующих форм:

где – произвольные постоянные.

Являясь линейными комбинациями функций и , функции Ханкеля удовлетворяют тем же рекуррентным соотношениям, что и эти функции, например,

(5.3)

Если с помощью (3.5) исключить из (5.1) функцию Бесселя второго рода, то получим

(5.4)

откуда вытекают важные соотношения:

6 Функции Бесселя мнимого аргумента

С функциями Бесселя тесно связаны две часто встречающиеся в приложениях функции и , которые для , принадлежащего плоскости с разрезом вдоль отрицательной полуоси и произвольного , могут быть определены при помощи формул:

(6.1)

(6.2)

и при целом

(6.3)

Повторяя рассуждения пункта 2, получаем, что и представляют собой регулярные функции в плоскости с разрезом и целые функции .

Рассматриваемые функции просто связаны с функциями Бесселя от аргумента .

Действительно, предположим, что . Тогда и из (2.1) следует

(6.4)

для всех

Аналогично из формулы (5.4) получаем для таких же

(6.5)

Для значений функции и могут быть выражены через функции Бесселя от аргумента . Мы имеем

(6.6)

для всех .

На основании полученных соотношений функции и называются функциями Бесселя мнимого аргумента. Функция известна в литературе также под названием функции Макдональда.

Из выведенных формул непосредственно следует, что рассматриваемые функции представляют собой линейно независимые решения дифференциального уравнения

(6.7)

которое отличается от уравнения Бесселя только знаком одного члена и переходит в него при подстановке .

Уравнение (6.7) часто встречается в математической физике. Общий интеграл этого уравнения при произвольном может быть записан в виде

Функции и удовлетворяют простым рекуррентным соотношениям:

(6.9)

Рекуррентные формулы, содержащие функции , доказываются подстановкой в них ряда (6.1). Соответствующие формулы для функций при , отличном от целого числа, проверяются путем подстановки в них выражения (6.2) и использования формул первой группы. Справедливость последних соотношений при целом следует из непрерывности рассматриваемых функций по отношению к значку.

Укажем еще две полезные формулы:

(6.10)

первая из которых вытекает из (6.1), если принять во внимание, что при первые членов разложения обращаются в нуль, в то время как вторая является прямым следствием определения функции Макдональда (6.2).

Разложение функции при может быть получено из (6.3) методом пункта 5. Приведем окончательный результат вычисления:

Здесь – логарифмическая производная гамма-функции, значения которой могут быть найдены по формулам (4.2). Для случая первую из сумм надлежит считать равной нулю.

Из (6.11) вытекает, что асимптотическое поведение функции при определяется формулами

(6.12)

7 Цилиндрические функции с индексом, равным половине нечетного целого числа

Специальный класс цилиндрических функций образуют цилиндрические функции с индексом, равным половине нечетного целого числа. В рассматриваемом случае цилиндрические функции могут быть выражены через элементарные функции. Чтобы показать это, найдем предварительно значения функций , для чего положим в (2.1) и воспользуемся для преобразования рядов формулой удвоения гамма-функции

Мы получим тогда

(7.1)

и аналогично

(7.2)

Возможность выразить функцию Бесселя первого рода с любым полуцелым значком через элементарные функции следует теперь из рекуррентной формулы (2.5)

пользуясь которой можно последовательно получить:

Общее выражение для через элементарные функции получается из формул (2.7). Например, если положить во второй из них и воспользоваться результатом (7.1), то находим:

(7.3)

Соответствующие формулы для функций Бесселя второго и третьего рода могут быть выведены из найденных соотношений, если воспользоваться выражениями этих функций через функции Бесселя первого рода (3.5 и 5.4). Например, мы имеем:

(7.4)

В заключение укажем на формулы:

(7.5)

вытекающие из определений рассматриваемых функций (6.1 – 6.2).

Формулы для других полуцелых значений индекса получаются из этих формул с помощью рекуррентных соотношений (6.9). Лиувиллем доказано, что случай полуцелого индекса является единственным, когда цилиндрические функции приводятся к элементарным.

8 Асимптотические представления цилиндрических функций для больших значений аргумента

Цилиндрические функции обладают простыми асимптотическими представлениями, удобными для аппроксимации этих функций при больших по модулю значениях и фиксированном значении индекса . Главные члены этих формул можно получить, исходя из дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют рассматриваемые функции.

Из цилиндрических функций наиболее простые асимптотические представления имеют функции третьего рода.

Чтобы получить асимптотическое представление функции , воспользуемся равенством

(8.1)

и преобразуем его с помощью подстановки . Тогда получим

(8.2)

Заменяя множитель биноминальным разложением с остаточным членом

и интегрируя почленно, находим

(8.3)

где

Предположим, что ( – произвольное малое положительное число) и будем временно считать, что выбрано так, что Оценка остаточного члена по модулю тогда дает

при фиксированном

Таким образом, для больших

(8.4)

Покажем, что условие, наложенное на , может быть отброшено. Действительно, если , то можно выбрать такое , что . Представив с помощью формулы (8.4), где заменено на , и замечая, что

мы снова приходим к прежнему результату.

Также легко с помощью соотношения освободиться от ограничения, наложенного на параметр .

Наконец, если воспользоваться вместо (8.1) интегральным представлением несколько более общего вида, можно показать, что найденная асимптотическая формула остается справедливой в более широком секторе .

Таким образом, окончательно для больших

(8.5)

Асимптотическое представление для функции получается аналогичным способом из формулы

(8.6)

и имеет следующий вид:

(8.7)

Асимптотические представления для цилиндрических функций первого и второго рода следуют из выведенных формул (8.5) и (8.7) и соотношений (5.1). Мы находим

(8.8)

(8.9)

Асимптотические формулы для модифицированных цилиндрических функций могут быть получены с помощью соотношений пункта 6.

Окончательные формулы имеют следующий вид:

(8.10)

знак соответствует

При условии, что , второе слагаемое в (8.10) будет мало, и эта формула может быть записана в виде

Из (8.5) и (8.7 – 8.12) следует, что расходящиеся ряды, получающиеся, если формально положить , являются асимптотическими для функций, стоящих в левых частях рассматриваемых равенств.

Способ, при помощи которого выведены рассматриваемые формулы, дает только порядок величины остаточного члена, но не позволяет сделать более точных заключений. При специальных предположениях относительно и можно, путем некоторого видоизменения рассуждений, получить значительно более точные результаты. Так, например, можно показать, что если и – вещественные положительные числа и число взято настолько большим, что то остатки асимптотических разложений для и будут численно меньше первых отбрасываемых членов. В асимптотическом представлении для тот же результат имеет место при .

9 Нули цилиндрических функций

При решении многих прикладных вопросов необходимо иметь представление о распределении нулей цилиндрических функций на плоскости комплексного переменного и уметь приближенно вычислять их значения.

Распределение нулей функций Бесселя с целым положительным значком, т. е. решений уравнения

устанавливается следующей теоремой.

Теорема 4. Функция не имеет комплексных нулей и имеет бесконечное множество вещественных нулей, расположенных симметрично относительно точки , которая, в случае принадлежит к их числу. Все нули функции – простые, за исключением точки , которая при является соответственно нулем кратности .

Распределение нулей функций Бесселя с произвольным вещественным индексом , т. е. решений уравнения

– вещественно, (9.2)

дается более общей теоремой 5.

Теорема 5. Функция – любое вещественное число) имеет бесконечное множество вещественных положительных нулей и конечное число комплексных сопряженных нулей, где, в зависимости от значения параметра ,

(1) если или

(2) при

Если среди комплексных нулей имеется пара чисто мнимых.

Все нули функции простые, исключая, может быть, точку .

В математической физику часто встречается уравнение

(где и – заданные вещественные числа, ), которое можно рассматривать как обобщение уравнения (9.2). При указанном ограничении параметра рассматриваемое уравнение имеет бесконечное множество положительных корней и не имеет комплексных корней, за исключением случая , когда это уравнение имеет два чисто мнимых корня.

Распределение нулей функции может быть выведено из теоремы 5 с помощью соотношений пункта 6. В частности, отметим важный результат, что при все нули функции чисто мнимые. Функция Макдональда при вещественном не имеет нулей в области . Нули функции, лежащие в остальной части разрезанной плоскости, комплексные сопряженные и число их конечно.

Для приближенного вычисления корней уравнений, содержащих цилиндрические функции, применяется метод последовательных приближений, причем за хорошее начальное приближение во многих случаях могут быть приняты корни уравнений, получающихся из исходных при замене цилиндрических функций их асимптотическими представлениями.

10 Пример

Решить дифференциальное уравнение:

В данном уравнении сделаем замену

где

Следовательно,

Подставим найденные производные в исходное уравнение, получим:

Умножим на :

Пусть , тогда получим:

Разделим на :

Исходя из общего вида уравнения Бесселя (1) следует, что .

Общее выражение цилиндрической функции для на основании формулы (1.14) представляет линейную комбинацию построенных решений:

где и – произвольные постоянные.

Таким образом, решение исходного уравнения имеет вид:

Заключение

В данной курсовой работе были изучены функции Бесселя (уравнение Бесселя и модифицированное уравнение Бесселя), основные свойства вышеуказанных функций и решено дифференциальное уравнение с использованием функций Бесселя.

Список литературы

1. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения (2-е изд.). – М.-Л.: ГИФМЛ, 1963г. – 359с.

2. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа, учебное пособие для вузов. – М.: Наука, 1983г. – 336с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. – М.: Наука, 1966г. – 296с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, учебное пособие для вузов. – М.: Наука, 1985г. – 560с.

5. G.N. Watson A treatise on the theory of Bessel functions. 1945. (Имеется перевод: Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций: Пер. со 2-го англ.изд. / Авт.предисл. В.С. Берман. – М.: ИЛ, 1949г. – 798с.)

6. Сабитов К.В. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения. – М.: Высшая школа, 2005г. – 671с.

7. Кузнецов Д.С. Специальные функции. – М.: Высшая школа, 1962г. – 249с.

8. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.2. – М.: ИЛ, 1960г. – 897с.

9. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. – М.: Наука, 1971г. – 287с.

10. Кузьмин Р.О. Бесселевы функции. – Л.-М.: ГТТИ, 1933г. – 152с.

В теории погрешностей точность измерений характеризуется средней квадратической погрешностью, которая была введена знаменитым немецким математиком и геодезистом К. Ф. Гауссом (1777–1855 гг.) и обозначается через m:

______________________ ______

m = ± √ (Δ 1 2 + Δ 2 2 + .. + Δ n 2) / n = ± √ [Δ 2 ] / n, (4.5)

где Δ 1 , Δ 2 , …, Δ n – случайные погрешности;

n – число измерений.

Средняя квадратическая погрешность является надежным критерием для оценки точности измерений. Она даже при небольшом числе измерений достаточно устойчива и хорошо отражает наличие крупных случайных ошибок, которые по существу и определяют качество измерений.

Формула (4.5) применена для вычисления средней квадратической погрешности, когда известно истинное значение измеряемой величины. Эти случаи в практике весьма редки. Как правило, истинное значение измеряемой величины неизвестно, но из измерений можно получить наиболее надежный результат – арифметическую середину. Получим формулу для вычисления средней квадратической погрешности при помощи уклонения отдельных результатов от арифметической середины по так называемым вероятнейшим погрешностям V.

Пусть l 1 , l 2 , …, l n – результаты равноточных измерений одной и той же величины, истинное значение которой Х, а арифметическая середина – L. Тогда можно вычислить n случайных или истинных погрешностей

Δ i = l i – X (4.6)

и n вероятнейших погрешностей

V i = l i – L. (4.7)

Сумма n равенству (4.7)

[V] = [l] – nL. (4.8)

Но, согласно равенству (4.4) nL = [l], поэтому

т. е. сумма вероятнейших погрешностей всегда должна быть равна нулю.

Вычитая из равенства (4.6) равенство (4.7), получим

Δ i – V i = L – X. (4.10)

В правой части равенству (4.10) мы имеем случайную погрешность арифметической середины. Обозначим ее через ε. Тогда

Δi = V i + ε. (4.11)

Возведем в квадрат равенство (4.11), возьмем их сумму и разделим ее на n:

[Δ 2 ] / n = / n + nε 2 / n + 2ε[V] / n. (4.12)

Левая часть этого равенства есть не что иное как m 2 . Последнее слагаемое правой части ввиду равенства (4.9) равно нулю.

m 2 = / n + ε 2 . (4.13)

Случайную погрешность ε заменим ее средним значением, т. е. средней квадратической погрешностью арифметической середины. Ниже будет доказано, что средняя квадратическая погрешность арифметической середины

М 2 = ε 2 = m 2 / n. (4.14)

m 2 – m 2 / n = / n или m 2 (n – 1) / n = / n,

откуда ___________

m 2 = / (n – 1), или m = √ / (n – 1). (4.15)

Формула (4.15) называется формулой Бесселя и имеет большое практическое значение. Она позволяет вычислять среднюю квадратическую погрешность по вероятнейшим уклонениям результатов измерений от арифметической средины.

Кроме средней квадратической погрешности различают еще среднюю, вероятную и относительную погрешности.

Средней погрешностью (Θ) называют среднее арифметическое из абсолютных значений случайных погрешностей т. е.

Θ = (|Δ 1 | + |Δ 2 | + … + |Δ n |) / n = [|Δ|] / n. (4.16)

В теории погрешности доказывается, что при n → ∞ Θ = 0,8 m , или m = 1,25Θ.

Иногда в прикладных вопросах пользуются вероятной погрешностью r. Вероятной погрешностью называют такое значение случайной погрешности в одном ряду равноточных измерений, по отношению к которой одинаково возможна погрешность как больше, так и меньше этого значения, по абсолютной величине. Для нахождения r все погрешности данного ряда располагают в порядке возрастания по абсолютной величине и выбирают то значение, которое занимает среднее положение, т. е. погрешностей меньше его столько же, сколько и больше. Вероятная погрешность связана со средней квадратической погрешностью соотношением r = 2/3 m = 0,67 m или m = 1,5 r.

Как видно, m > Θ и m > r, что показывает, что средняя квадратическая погрешность лучше характеризует точность измерений, чем средняя и вероятная погрешности.

Оценку точности таких измеренных величин, как линии, площади и объемы часто производят с помощью относительной погрешности . Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности к значению измеренной величины. Относительная погрешность записывается в виде дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе – число, показывающее какую долю измеряемой величины должна составлять допустимая погрешность. Например, длина стороны D = 150 м измерена с абсолютной погрешностью m d = 0,05 м. Тогда относительная погрешность результата измерения составит m d / D = 0,05 м / 150 м = 1 / 3000.

Величина 1 / 3000 означает, что на 3000 м расстояния может быть допущена погрешность в 1 м. Чем больше знаменатель относительной погрешности, тем выше точность измерений. Точность всех линейных измерений в геодезии всегда задается относительной погрешностью, которая приводится в соответствующих инструкциях и наставлениях по производству данного вида геодезических работ.

Порядков.

Хотя $\backslash alpha$ и $(-\backslash alpha)$ порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по $\backslash alpha$).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли , а названы в честь Фридриха Бесселя .

Применения

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

• электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе ;
• теплопроводность в цилиндрических объектах;
• формы колебания тонкой круглой мембраны;
• распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии;
• скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси;
• волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Определения

Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.

Функции Бесселя первого рода

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми $J\_\backslash alpha(x)$, являются решения, конечные в точке $x=0$ при целых или неотрицательных $\backslash alpha$. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых $\backslash alpha$):

$J\_\backslash alpha(x)\; =\; \backslash sum\_\{m=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^m\}\{m!\backslash ,\; \backslash Gamma(m+\backslash alpha+1)\}\; \{\backslash left(\{\backslash frac\{x\}\{2\}\}\backslash right)\}^\{2m+\backslash alpha\}$

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:

$y(x)\; =\; C\_1\; J\_\backslash alpha(x)\; +\; C\_2\; Y\_\backslash alpha(x).$

Ниже приведён график $Y\_\backslash alpha\; (x)$ для $\backslash alpha\; =\; 0$, 1 и 2:

Свойства

Ортогональность

Пусть $\backslash mu\_1$ и $\backslash mu\_2$ - нули функции Бесселя $J\_\{\backslash alpha\}(x)$. Тогда :

$\backslash int\_\{0\}^\{1\}\{x\; J\_\{\backslash alpha\}(\backslash mu\_1\; x)\; J\_\{\backslash alpha\}(\backslash mu\_2\; x)\; dx\}\; =\; \backslash left\backslash \{\; \backslash begin\{matrix\}$

0 & \mbox{;}\quad\mu_1\ne\mu_2 \\ \\ \frac{1}{2}(J"_{\alpha}(\mu_1))^2 & \mbox{;}\quad\mu_1=\mu_2

\end{matrix} \right. .

Асимптотика

Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах и неотрицательных $\backslash alpha$ они выглядят так :

$J\_\backslash alpha(x)\; \backslash rightarrow\; \backslash frac\{1\}\{\backslash Gamma(\backslash alpha+1)\}\; \backslash left(\backslash frac\{x\}\{2\}\; \backslash right)\; ^\backslash alpha\; ,$

\end{matrix} \right. ,

$J\_\backslash alpha(z)=\backslash frac\{(z/2)^\backslash alpha\}\{\backslash Gamma(\backslash alpha+1)\}\; \{\}\_0F\_1\; (\backslash alpha+1;\; -z^2/4).$

Таким образом, при целых $\backslash alpha$ функция Бесселя однозначная аналитическая , а при нецелых - многозначная аналитическая .

Производящая функция

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно:

$e^\{\backslash frac\{z\}\{2\}\backslash left(w-\backslash frac\{1\}\{w\}\backslash right)\}=\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}J\_n(z)w^n\; .$

Соотношения

Формула Якоби - Ангера и связанные с ней

Получается выражения для производящей при $a=1$, $t=e^\{i\backslash phi\}$:

$e^\{iz\backslash sin\backslash phi\}=J\_0(z)+2\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; J\_\{2n\}(z)\backslash cos(2n\backslash phi)+2i\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; J\_\{2n-1\}(z)\backslash sin(2n-1)\backslash phi.$

При $a=1$, $t=ie^\{i\backslash phi\}$:

$e^\{iz\backslash cos\backslash phi\}=J\_0(z)+2\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; i^nJ\_n(z)\backslash cos(n\backslash phi).$

Теорема сложения

Для любого целого $n$ и комплексных $z\_1$ и $z\_2$ выполняется

$J\_n(z\_1+z\_2)\; =\; \backslash sum\_\{k=-\backslash infty\}^\backslash infty\; J\_k(z\_1)\; J\_\{n-k\}(z\_2).$

Интегральные выражения

Для любых $a$ и $b$ (в том числе комплексных) выполняется

$\backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-at\}J\_n(bt)\backslash mathrm\; dt\; =\; \backslash frac\{b^n\}\{\backslash sqrt\{a^2+b^2\}(\backslash sqrt\{a^2+b^2\}+a)^n\}.$

Частным случаем последней формулы является выражение

$\backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-at\}J\_0(bt)\backslash mathrm\; dt\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{a^2+b^2\}\}.$

См. также

Напишите отзыв о статье "Функции Бесселя"

Примечания

Литература

• Ватсон Г. Теория бесселевых функций. - М .: ИЛ , 1949.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. - М .: Наука , 1974. - 296 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. - М .: Наука , 1973. - 736 с.

Отрывок, характеризующий Функции Бесселя

– Вера, – сказала графиня, обращаясь к старшей дочери, очевидно, нелюбимой. – Как у вас ни на что понятия нет? Разве ты не чувствуешь, что ты здесь лишняя? Поди к сестрам, или…
Красивая Вера презрительно улыбнулась, видимо не чувствуя ни малейшего оскорбления.
– Ежели бы вы мне сказали давно, маменька, я бы тотчас ушла, – сказала она, и пошла в свою комнату.
Но, проходя мимо диванной, она заметила, что в ней у двух окошек симметрично сидели две пары. Она остановилась и презрительно улыбнулась. Соня сидела близко подле Николая, который переписывал ей стихи, в первый раз сочиненные им. Борис с Наташей сидели у другого окна и замолчали, когда вошла Вера. Соня и Наташа с виноватыми и счастливыми лицами взглянули на Веру.
Весело и трогательно было смотреть на этих влюбленных девочек, но вид их, очевидно, не возбуждал в Вере приятного чувства.
– Сколько раз я вас просила, – сказала она, – не брать моих вещей, у вас есть своя комната.
Она взяла от Николая чернильницу.
– Сейчас, сейчас, – сказал он, мокая перо.
– Вы всё умеете делать не во время, – сказала Вера. – То прибежали в гостиную, так что всем совестно сделалось за вас.
Несмотря на то, или именно потому, что сказанное ею было совершенно справедливо, никто ей не отвечал, и все четверо только переглядывались между собой. Она медлила в комнате с чернильницей в руке.
– И какие могут быть в ваши года секреты между Наташей и Борисом и между вами, – всё одни глупости!
– Ну, что тебе за дело, Вера? – тихеньким голоском, заступнически проговорила Наташа.
Она, видимо, была ко всем еще более, чем всегда, в этот день добра и ласкова.
– Очень глупо, – сказала Вера, – мне совестно за вас. Что за секреты?…
– У каждого свои секреты. Мы тебя с Бергом не трогаем, – сказала Наташа разгорячаясь.
– Я думаю, не трогаете, – сказала Вера, – потому что в моих поступках никогда ничего не может быть дурного. А вот я маменьке скажу, как ты с Борисом обходишься.
– Наталья Ильинишна очень хорошо со мной обходится, – сказал Борис. – Я не могу жаловаться, – сказал он.
– Оставьте, Борис, вы такой дипломат (слово дипломат было в большом ходу у детей в том особом значении, какое они придавали этому слову); даже скучно, – сказала Наташа оскорбленным, дрожащим голосом. – За что она ко мне пристает? Ты этого никогда не поймешь, – сказала она, обращаясь к Вере, – потому что ты никогда никого не любила; у тебя сердца нет, ты только madame de Genlis [мадам Жанлис] (это прозвище, считавшееся очень обидным, было дано Вере Николаем), и твое первое удовольствие – делать неприятности другим. Ты кокетничай с Бергом, сколько хочешь, – проговорила она скоро.
– Да уж я верно не стану перед гостями бегать за молодым человеком…
– Ну, добилась своего, – вмешался Николай, – наговорила всем неприятностей, расстроила всех. Пойдемте в детскую.
Все четверо, как спугнутая стая птиц, поднялись и пошли из комнаты.
– Мне наговорили неприятностей, а я никому ничего, – сказала Вера.
– Madame de Genlis! Madame de Genlis! – проговорили смеющиеся голоса из за двери.
Красивая Вера, производившая на всех такое раздражающее, неприятное действие, улыбнулась и видимо не затронутая тем, что ей было сказано, подошла к зеркалу и оправила шарф и прическу. Глядя на свое красивое лицо, она стала, повидимому, еще холоднее и спокойнее.

В гостиной продолжался разговор.
– Ah! chere, – говорила графиня, – и в моей жизни tout n"est pas rose. Разве я не вижу, что du train, que nous allons, [не всё розы. – при нашем образе жизни,] нашего состояния нам не надолго! И всё это клуб, и его доброта. В деревне мы живем, разве мы отдыхаем? Театры, охоты и Бог знает что. Да что обо мне говорить! Ну, как же ты это всё устроила? Я часто на тебя удивляюсь, Annette, как это ты, в свои годы, скачешь в повозке одна, в Москву, в Петербург, ко всем министрам, ко всей знати, со всеми умеешь обойтись, удивляюсь! Ну, как же это устроилось? Вот я ничего этого не умею.
– Ах, душа моя! – отвечала княгиня Анна Михайловна. – Не дай Бог тебе узнать, как тяжело остаться вдовой без подпоры и с сыном, которого любишь до обожания. Всему научишься, – продолжала она с некоторою гордостью. – Процесс мой меня научил. Ежели мне нужно видеть кого нибудь из этих тузов, я пишу записку: «princesse une telle [княгиня такая то] желает видеть такого то» и еду сама на извозчике хоть два, хоть три раза, хоть четыре, до тех пор, пока не добьюсь того, что мне надо. Мне всё равно, что бы обо мне ни думали.
– Ну, как же, кого ты просила о Бореньке? – спросила графиня. – Ведь вот твой уже офицер гвардии, а Николушка идет юнкером. Некому похлопотать. Ты кого просила?
– Князя Василия. Он был очень мил. Сейчас на всё согласился, доложил государю, – говорила княгиня Анна Михайловна с восторгом, совершенно забыв всё унижение, через которое она прошла для достижения своей цели.
– Что он постарел, князь Василий? – спросила графиня. – Я его не видала с наших театров у Румянцевых. И думаю, забыл про меня. Il me faisait la cour, [Он за мной волочился,] – вспомнила графиня с улыбкой.
– Всё такой же, – отвечала Анна Михайловна, – любезен, рассыпается. Les grandeurs ne lui ont pas touriene la tete du tout. [Высокое положение не вскружило ему головы нисколько.] «Я жалею, что слишком мало могу вам сделать, милая княгиня, – он мне говорит, – приказывайте». Нет, он славный человек и родной прекрасный. Но ты знаешь, Nathalieie, мою любовь к сыну. Я не знаю, чего я не сделала бы для его счастья. А обстоятельства мои до того дурны, – продолжала Анна Михайловна с грустью и понижая голос, – до того дурны, что я теперь в самом ужасном положении. Мой несчастный процесс съедает всё, что я имею, и не подвигается. У меня нет, можешь себе представить, a la lettre [буквально] нет гривенника денег, и я не знаю, на что обмундировать Бориса. – Она вынула платок и заплакала. – Мне нужно пятьсот рублей, а у меня одна двадцатипятирублевая бумажка. Я в таком положении… Одна моя надежда теперь на графа Кирилла Владимировича Безухова. Ежели он не захочет поддержать своего крестника, – ведь он крестил Борю, – и назначить ему что нибудь на содержание, то все мои хлопоты пропадут: мне не на что будет обмундировать его.
Графиня прослезилась и молча соображала что то.
– Часто думаю, может, это и грех, – сказала княгиня, – а часто думаю: вот граф Кирилл Владимирович Безухой живет один… это огромное состояние… и для чего живет? Ему жизнь в тягость, а Боре только начинать жить.
– Он, верно, оставит что нибудь Борису, – сказала графиня.
– Бог знает, chere amie! [милый друг!] Эти богачи и вельможи такие эгоисты. Но я всё таки поеду сейчас к нему с Борисом и прямо скажу, в чем дело. Пускай обо мне думают, что хотят, мне, право, всё равно, когда судьба сына зависит от этого. – Княгиня поднялась. – Теперь два часа, а в четыре часа вы обедаете. Я успею съездить.
И с приемами петербургской деловой барыни, умеющей пользоваться временем, Анна Михайловна послала за сыном и вместе с ним вышла в переднюю.
– Прощай, душа моя, – сказала она графине, которая провожала ее до двери, – пожелай мне успеха, – прибавила она шопотом от сына.
– Вы к графу Кириллу Владимировичу, ma chere? – сказал граф из столовой, выходя тоже в переднюю. – Коли ему лучше, зовите Пьера ко мне обедать. Ведь он у меня бывал, с детьми танцовал. Зовите непременно, ma chere. Ну, посмотрим, как то отличится нынче Тарас. Говорит, что у графа Орлова такого обеда не бывало, какой у нас будет.

Порядков.

Хотя и (− α) {\displaystyle (-\alpha)} порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по α {\displaystyle \alpha } ).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли , а названы в честь Фридриха Бесселя .

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Смешанная задача в круге. Функции Бесселя

✪ Дифференциальные уравнения | уравнение Бесселя и подход к его решению

✪ Методы математической физики. Профессор Тихонов Николай Андреевич (Лекция 1)

✪ Дифференциальные уравнения | интегральные представления функций Бесселя | 1

✪ 13. Построение функции Уолша

Субтитры

Применения

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

• электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе ;
• теплопроводность в цилиндрических объектах;
• формы колебания тонкой круглой мембраны;
• распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии;
• скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси;
• волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Определения

Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.

Функции Бесселя первого рода

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми , являются решения, конечные в точке x = 0 {\displaystyle x=0} при целых или неотрицательных α {\displaystyle \alpha } . Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых α {\displaystyle \alpha } ):

J α (x) = ∑ m = 0 ∞ (− 1) m m ! Γ (m + α + 1) (x 2) 2 m + α {\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}

Здесь Γ (z) {\displaystyle \Gamma (z)} - гамма-функция Эйлера , обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду , колебания которой затухают пропорционально 1 x {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x}}}} , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.

Ниже приведены графики J α (x) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} для , 1 и 2:

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:

y (x) = C 1 J α (x) + C 2 Y α (x) . {\displaystyle y(x)=C_{1}J_{\alpha }(x)+C_{2}Y_{\alpha }(x).}

Ниже приведён график Y α (x) {\displaystyle Y_{\alpha }(x)} для α = 0 {\displaystyle \alpha =0} , 1 и 2:

∫ 0 1 x J α (μ 1 x) J α (μ 2 x) d x = { 0 ; μ 1 ≠ μ 2 1 2 (J α ′ (μ 1)) 2 ; μ 1 = μ 2 . {\displaystyle \int _{0}^{1}{xJ_{\alpha }(\mu _{1}x)J_{\alpha }(\mu _{2}x)dx}=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}\neq \mu _{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J"_{\alpha }(\mu _{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}=\mu _{2}\end{matrix}}\right..}

Асимптотика

Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах (0 < x ≪ α + 1) {\displaystyle (0 и неотрицательных α {\displaystyle \alpha } они выглядят так :

J α (x) → 1 Γ (α + 1) (x 2) α , {\displaystyle J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha },} Y α (x) → { 2 π [ ln ⁡ (x / 2) + γ ] ; α = 0 − Γ (α) π (2 x) α ; α > 0 , {\displaystyle Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\mbox{;}}\quad \alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha)}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\end{matrix}}\right.,}

где γ {\displaystyle \gamma } - постоянная Эйлера - Маскерони (0,5772…), а Γ {\displaystyle \Gamma } - гамма-функция Эйлера . Для больших аргументов ( x ≫ | α 2 − 1 / 4 | {\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|} ) формулы выглядят так:

J α (x) → 2 π x cos ⁡ (x − α π 2 − π 4) , {\displaystyle J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right),} Y α (x) → 2 π x sin ⁡ (x − α π 2 − π 4) . {\displaystyle Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right).}

Гипергеометрический ряд

Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию :

J α (z) = (z / 2) α Γ (α + 1) 0 F 1 (α + 1 ; − z 2 / 4) . {\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}(\alpha +1;-z^{2}/4).}

Таким образом, при целых α {\displaystyle \alpha } функция Бесселя однозначная аналитическая , а при нецелых - многозначная аналитическая .

Производящая функция

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно:

e z 2 (w − 1 w) = ∑ n = − ∞ + ∞ J n (z) w n . {\displaystyle e^{{\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)w^{n}.}