Закон сложения перемещений формула. Закон сложения скоростей в классической механике. Пример решения задач

А эта система отсчёта в свою очередь движется относительно другой системы) возникает вопрос о связи скоростей в двух системах отсчёта.

Энциклопедичный YouTube

1 / 3

Сложение скоростей (кинематика) ➽ Физика 10 класс ➽ Видеоурок

Урок 19. Относительность движения. Формула сложения скоростей.

Физика. Урок № 1. Кинематика. Закон сложения скоростей

Субтитры

Классическая механика

V → a = v → r + v → e . {\displaystyle {\vec {v}}_{a}={\vec {v}}_{r}+{\vec {v}}_{e}.}

Данное равенство представляет собой содержание утверждения теоремы о сложении скоростей .

Простым языком: Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости (относительно неподвижной системы) той точки подвижной системы отсчёта, в которой в данный момент времени находится тело.

Примеры

1. Абсолютная скорость мухи, ползущей по радиусу вращающейся граммофонной пластинки, равна сумме скорости её движения относительно пластинки и той скорости, которую имеет точка пластинки под мухой относительно земли (то есть с которой её переносит пластинка за счёт своего вращения).
2. Если человек идёт по коридору вагона со скоростью 5 километров в час относительно вагона, а вагон движется со скоростью 50 километров в час относительно Земли, то человек движется относительно Земли со скоростью 50 + 5 = 55 километров в час, когда идёт по направлению движения поезда, и со скоростью 50 - 5 = 45 километров в час, когда он идёт в обратном направлении. Если человек в коридоре вагона движется относительно Земли со скоростью 55 километров в час, а поезд со скоростью 50 километров в час, то скорость человека относительно поезда 55 - 50 = 5 километров в час.
3. Если волны движутся относительно берега со скоростью 30 километров в час, и корабль также со скоростью 30 километров в час, то волны движутся относительно корабля со скоростью 30 - 30 = 0 километров в час, то есть относительно корабля они становятся неподвижными.

Релятивистская механика

В XIX веке классическая механика столкнулась с проблемой распространения этого правила сложения скоростей на оптические (электромагнитные) процессы. По существу произошёл конфликт между двумя идеями классической механики, перенесёнными в новую область электромагнитных процессов.

Например, если рассмотреть пример с волнами на поверхности воды из предыдущего раздела и попробовать обобщить на электромагнитные волны, то получится противоречие с наблюдениями (см., например, опыт Майкельсона).

Классическое правило сложения скоростей соответствует преобразованию координат от одной системы осей к другой системе, движущиеся относительно первой без ускорения. Если при таком преобразовании мы сохраняем понятие одновременности, то есть сможем считать одновременными два события не только при их регистрации в одной системе координат, но и во всякой другой инерциальной системе , то преобразования называются галилеевыми . Кроме того, при галилеевых преобразованиях пространственное расстояние между двумя точками - разница между их координатами в одной инерциальной системе отсчёта - всегда равно их расстоянию в другой инерциальной системе.

Вторая идея - принцип относительности . Находясь на корабле, движущимся равномерно и прямолинейно , нельзя обнаружить его движение какими-то внутренними механическими эффектами. Распространяется ли этот принцип на оптические эффекты? Нельзя ли обнаружить абсолютное движение системы по вызванным этим движением оптическим или, что то же самое электродинамическими эффектами? Интуиция (довольно явным образом связанная с классическим принципом относительности) говорит, что абсолютное движение нельзя обнаружить какими бы то ни было наблюдениями. Но если свет распространяется с определённой скоростью относительно каждой из движущихся инерциальных систем, то эта скорость изменится при переходе от одной системы к другой. Это вытекает из классического правила сложения скоростей. Говоря математическим языком, величина скорости света не будет инвариантна относительно галлилеевых преобразованиям. Это нарушает принцип относительности, вернее, не позволяет распространить принцип относительности на оптические процессы. Таким образом электродинамика разрушила связь двух, казалось бы, очевидных положений классической физики - правила сложения скоростей и принципа относительности. Более того, эти два положения применительно к электродинамике оказались несовместимыми.

Теория относительности даёт ответ на этот вопрос. Она расширяет понятие принципа относительности, распространяя его и на оптические процессы. Правило сложения скоростей при этом не отменяется совсем, а лишь уточняется для больших скоростей с помощью преобразования Лоренца:

v r e l = v 1 + v 2 1 + v 1 v 2 c 2 . {\displaystyle v_{rel}={\frac {{v}_{1}+{v}_{2}}{1+{\dfrac {{v}_{1}{v}_{2}}{c^{2}}}}}.}

Можно заметить, что в случае, когда v / c → 0 {\displaystyle v/c\rightarrow 0} , преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея . Это говорит о том, что специальная теория относительности сводится к механике Ньютона при скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Это объясняет, каким образом соотносятся эти две теории - первая является обобщением второй.

Скорость – это количественная характеристика движения тела.

Средняя скорость – это физическая величина, равная отношению вектора перемещения точки к промежутку времени Δt, за который произошло это перемещение. Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения . Средняя скорость определяется по формуле:

Мгновенная скорость , то есть скорость в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Иными словами, мгновенная скорость в данный момент времени – это отношение очень малого перемещения к очень малому промежутку времени, за который это перемещение произошло.

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения тела (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Вектор мгновенной скорости.

В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду, то есть единицей скорости принято считать скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором за одну секунду тело проходит путь в один метр. Единица измерения скорости обозначается м/с . Часто скорость измеряют в других единицах. Например, при измерении скорости автомобиля, поезда и т.п. обычно используется единица измерения километр в час:

1 км/ч = 1000 м / 3600 с = 1 м / 3,6 с или 1 м/с = 3600 км / 1000 ч = 3,6 км/ч

Сложение скоростей

Скорости движения тела в различных системах отсчёта связывает между собой классический закон сложения скоростей .

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта равна сумме скоростей тела в подвижной системе отсчёта и самой подвижной системы отсчёта относительно неподвижной.

Например, пассажирский поезд движется по железной дороге со скоростью 60 км/ч. По вагону этого поезда идет человек со скоростью 5 км/ч. Если считать железную дорогу неподвижной и принять её за систему отсчёта, то скорость человека относительно системы отсчёта (то есть относительно железной дороги), будет равна сложению скоростей поезда и человека, то есть

60 + 5 = 65, если человек идёт в том же направлении, что и поезд и 60 – 5 = 55, если человек и поезд движутся в разных направлениях

Однако это справедливо только в том случае, если человек и поезд движутся по одной линии. Если же человек будет двигаться под углом, то придётся учитывать этот угол, вспомнив о том, что скорость – это векторная величина .

А теперь рассмотрим описанный выше пример более подробно – с деталями и картинками.

Итак, в нашем случае железная дорога – это неподвижная система отсчёта . Поезд, который движется по этой дороге – это подвижная система отсчёта . Вагон, по которому идёт человек, является частью поезда.

Скорость человека относительно вагона (относительно подвижной системы отсчёта) равна 5 км/ч. Обозначим её буквой Ч.

Скорость поезда (а значит и вагона) относительно неподвижной системы отсчёта (то есть относительно железной дороги) равна 60 км/ч. Обозначим её буквой В. Иначе говоря, скорость поезда – это скорость подвижной системы отсчёта относительно неподвижной системы отсчёта.

Скорость человека относительно железной дороги (относительно неподвижной системы отсчёта) нам пока неизвестна. Обозначим её буквой .

Свяжем с неподвижной системой отсчёта (рис. 1.7) систему координат ХОY, а с подвижной системой отсчёта – систему координат X П О П Y П (см. также раздел ). А теперь попробуем найти скорость человека относительно неподвижной системы отсчёта, то есть относительно железной дороги.

За малый промежуток времени Δt происходят следующие события:

Тогда за этот промежуток времени перемещение человека относительно железной дороги:

Это закон сложения перемещений . В нашем примере перемещение человека относительно железной дороги равно сумме перемещений человека относительно вагона и вагона относительно железной дороги.

Рис. 1.7. Закон сложения перемещений.

Закон сложения перемещений можно записать так:

= Δ Ч Δt + Δ B Δt

Скорость человека относительно железной дороги равна.

Преобразования Лоренца дают нам возможность вычислять изменение координат события при переходе от одной системы отсчета к другой. Поставим теперь вопрос о том, как при изменении системы отсчета будет меняться скорость одного и того же тела?

В классической механике, как известно, скорость тела просто складывается со скоростью системы отсчета. Сейчас мы убедимся, что в теории относительности скорость преобразуется по более сложному закону.

Мы снова ограничимся рассмотрением одномерного случая. Пусть две системы отсчета S и S` «наблюдают» за движением некоторого тела, которое перемещается равномерно и прямолинейно параллельно осям х и х` обеих систем отсчета. Пусть скорость тела, измеренная системой отсчета S , есть и ; скорость того же тела, измеренную системой S`, обозначим через и` . Буквой v будем по-прежнему обозначать скорость системы S ` относительно S .

Допустим, что с нашим телом происходят два события, координаты которых в системе S суть x 1 ,t 1 , и х 2 , t 2 . Координаты тех же событий в системе S ` пусть будут х` 1 , t ` 1 ; x` 2 , t` 2 . Но скорость тела есть отнощение пройденного телом пути к соответствующему промежутку времени; поэтому, чтобы найти скорость тела в той и другой системах отсчета, нужно разность пространственных координат обоих событий разделить на разность временных координат

которую можно, как всегда, получить из релятивистской, если скорость света считать бесконечной. Ту же формулу можно записать в виде

Для небольших, «обычных» скоростей обе формулы— релятивистская и классическая — дают практически совпадающие результаты, в чем читатель при желании легко сможет убедиться. Но при скоростях, близких к скорости света, разница становится весьма ощутимой. Так, если v=150 000 км/сек , u`=200 000 км/ с ек, км/сек релятивистская формула дает u = 262 500 км/ с ек.

S со скоростью v = 150 000 км/сек. S ` дает результат u =200 000 км/сек. км/ с ек.


км/сек, а второго — 200 000 км/сек, км .

с. Не представляет никакого труда доказать это утверждение вполне строго. Действительно, легко проверить.

Для небольших, «обычных» скоростей обе формулы— релятивистская и классическая — дают практически совпадающие результаты, в чем читатель при желании легко сможет убедиться. Но при скоростях, близких к скорости света, разница становится весьма ощутимой. Так, если v=150 000 км/сек , u`=200 000 км/ с ек, то вместо классического результата u = 350 000 км/сек релятивистская формула дает u = 262 500 км/ с ек. Согласно смыслу формулы сложения скоростей, этот результат означает следующее.

Пусть система отсчета S` движется относительно системы отсчета S со скоростью v = 150 000 км/сек. Пусть в том же направлении движется тело, причем измерение его скорости системой отсчета S ` дает результат u` =200 000 км/сек. Если теперь измерить скорость того же тела с помощью системы отсчета S то получится u=262 500 км/ с ек.


Следует подчеркнуть, что полученная нами формула предназначена именно для пересчета величины скорости одного и того же тела от одной системы отсчета к другой, а отнюдь не для вычисления «скорости сближения» или «удаления» двух тел. Если мы из одной и той же системы отсчета наблюдаем два движущихся навстречу друг другу тела, причем скорость одного тела равна 150 000 км/сек, а второго — 200 000 км/сек, то расстояние между этими телами каждую секунду будет уменьшаться на 350 000 км . Теория относительности не упраздняет законов арифметики.

Читатель уже понял, конечно, что, применяя эту формулу к скоростям, не превосходящим скорость света, мы снова получим скорость, не превосходящую с. Не представляет никакого труда доказать это утверждение вполне строго. Действительно, легко проверить, что имеет место равенство

Так как и` ≤ с и v < c , то в правой части равенства числитель и знаменатель, а с ними и вся дробь, неотрицательны. Поэтому квадратная скобка меньше единицы, а потому и ≤ с .
Если и ` = с , то и и= с. Это есть не что иное, как закон постоянства скорости света. Не следует, конечно, рассматривать этот вывод как «доказательство» или хотя бы «подтверждение» постулата постоянства скорости света. Ведь мы с самого начала исходили из этого постулата и неудивительно, что пришли к результату, который ему не противоречит, в противном случае этот постулат был бы опровергнут путем доказательства от противного. Вместе с тем мы видим, что закон сложения скоростей эквивалентен постулату постоянства скорости света, каждое из этих двух утверждений логически вытекает из другого (и остальных постулатов теории относительности).

При выводе закона сложения скоростей мы предполагали, что скорость тела параллельна относительной скорости систем отсчета. Этого предположения можно было ие делать, но тогда наша формула относилась бы лишь к той компоненте скорости, которая направлена по оси x, и формулу следовало бы записать в виде

С помощью этих формул мы разберем явление аберрации (см. § 3). Ограничимся лишь простейшим случаем. Пусть некоторое светило в системе отсчета S неподвижно, пусть, далее, система отсчета S ` движется относительно системы S со скоростью v и пусть наблюдатель, движущийся вместе с S`, принимает лучи света от светила как раз в тот момент, когда оно находится у него точно над головой (рис. 21). Составляющие скорости этого луча в системе S будут
u x = 0, u y = 0, u x = -c.

Для системы отсчета S` наши формулы дают
u` x = -v, u` y = 0,
u` z = -c √ (1 - v 2 /c 2 )
Мы получим тангенс угла наклона луча к оси z`, если разделим и` х на и` z :
tg α = и` х / и` z = (v/c) / √(1 - v 2 /c 2)

Если скорость v не очень велика, то можно применить известную нам приближенную формулу, с помощью которой получаем
tg α = v/c + 1/2*v 2 /c 2 .
Первое слагаемое представляет собой хорошо известный классический результат; второе слагаемое есть релятивистская поправка.

Орбитальная скорость Земли равна примерно 30 км/сек, так что (v / c ) = 1 0 -4 . Для малых углов тангенс равен самому углу, измеренному в радианах; так как радиан содержит круглым счетом 200 000 угловых секунд, то получаем для угла аберрации:
α = 20°
Релятивистская поправка в 20 000 000 раз меньше и лежит далеко за пределами точности астрономических измерений. Вследствие аберрации звезды описывают ежегодно на небе эллипсы с большой полуосью в 20".

Когда мы смотрим на движущееся тело, мы видим его не там, где оно находится в данный момент, а там, где оно было несколько раньше, ибо свету нужно некоторое время, чтобы Дойти от тела до наших глаз. Это явление с точки зрения теории относительности эквивалентно аберрации и сводится к ней при переходе к той системе отсчета, в которой рассматриваемое тело неподвижно. На основании этого простого соображения мы можем получить формулу аберрации совершенно элементарным путем, не прибегая к релятивистскому закону сложения скоростей.

Пусть наше светило движется параллельно земной поверхности справа налево (рис. 22). Когда оно прибывает в точку А, наблюдатель, находящийся точно под ним в точке С, видит его еще в точке В. Если скорость светила равна v , а промежуток времени, в течение которого оно проходит отрезок А В , равен Δt , то

AB = Δt ,
BC = c Δt ,

sin α = AB/BC = v/c.

Но тогда, согласно формуле тригонометрии,

что и требовалось доказать. Заметим, что в классической кинематике эти две точки зрения не эквивалентны.

Интересен также следующий вопрос. Как известно, в классической кинематике скорости складываются по правилу параллелограмма. Мы заменили этот закон другим, более сложным. Значит ли это, что в теории относительности скорость уже не есть вектор?

Во-первых, то обстоятельство, что u ≠ u `+ v (жирными буквами мы обозначаем векторы), само по себе не дает еще оснований отрицать векторную природу скорости. Из двух данных векторов третий вектор можно получить не только путем их сложения, а, например, путем векторного умножения, и вообще бесчисленным множеством способов. Ниоткуда не следует, что при перемене системы отсчета векторы и` и v обязаны именно складываться. И действительно, существует формула, выражающая и через и` и v с помощью операций векторного исчисления:

В связи с этим следует признать, что название «закон сложения скоростей» не совсем удачно; правильнее говорить, как это и делают некоторые авторы, не о сложении, а о преобразовании скорости при перемене системы отсчета.

Во-вторых, и в теории относительности можно указать случаи, когда скорости складываются по-прежнему векторно. Пусть, например, тело двигалось в течение некоторого промежутка времени Δt со скоростью u 1 , а затем — такой же отрезок времени со скоростью u 2 . Это сложное движение можно заменить движением с постоянной скоростью u = u 1 + u 2 . Здесь скорости u 1 и u 2 складываются, как векторы, по правилу параллелограмма; теория относительности не вносит здесь никаких изменений.
Следует вообще заметить, что большинство «парадоксов» теории относительности связано так или иначе с изменением системы отсчета. Если рассматривать явления в одной и той же системе отсчета, то вносимые теорией относительности изменения в их закономерности далеко не столь кардинальны, как часто думают.

Отметим еще, что естественным обобщением обычных трехмерных векторов в теории относительности являются векторы четырехмерные; при перемене системы отсчета они преобразуются по формулам Лоренца. Кроме трех пространственных компонент, они имеют компоненту временную. В частности, можно рассматривать четырехмерный вектор скорости. Пространственная «часть» этого вектора, однако, не совпадает с обычной трехмерной скоростью, и вообще четырехмерная скорость по своим свойствам заметно отличается от трехмерной. В частности, сумма двух четырехмерных скоростей не будет уже, вообще говоря, скоростью.

«Физика - 10 класс»

Изменится ли движение, если мы будем его описывать в разных системах координат?
В любой ли системе координат удобно описывать движение?

Пусть по реке плывёт моторная лодка и нам известна её скорость 1 относительно воды, точнее, относительно системы координат K 1 , движущейся вместе с водой (рис. 1.19).

Такую систему координат можно связать, например, с мячом, выпавшим из лодки и плывущим по течению. Если известна ещё и скорость течения реки относительно системы координат К 2 , связанной с берегом, т. е. скорость системы координат Кх относительно системы координат К 2 , то можно определить скорость лодки 2 относительно берега.

За промежуток времени Δt перемещения лодки и мяча относительно берега равны Δ 2 и Δ (рис. 1.20), а перемещение лодки относительно мяча равно Δ 1 . Из рисунка 1.20 видно, что

Δ 2 = Δ 1 + Δ. (1.7)

Разделив левую и правую части уравнения (1.7) на Δt, получим

Учтём также что отношения перемещений к интервалу времени равны скоростям. Поэтому

Скорости складываются геометрически, как и все другие векторы. Уравнение (1.8) называют законом сложения скоростей .

Закон сложения скоростей

Если тело движется относительно некоторой системы координат К 1 со скоростью и сама система К 1 движется относительно другой системы координат К 2 со скоростью 1 , то скорость тела относительно второй системы равна геометрической сумме скоростей 1 и .

Как запишется классический закон сложения скоростей, если (1.9) неподвижной считать систему, связанную с мячом, а подвижной - с берегом?

Как и любое векторное уравнение, уравнение (1.8) представляет собой компактную запись скалярных уравнений, в данном случае - для сложения проекций скоростей движения на плоскости:

υ 2x = υ 1x + υ x ,
υ 2y = υ 1y + υ y . (1.9)

Проекции скоростей складываются алгебраически.

Закон сложения скоростей позволяет определять скорость тела относительно разных систем отсчёта, движущихся относительно друг друга.

Классический закон сложения скоростей справедлив для тел, движущихся со скоростями, много меньшими скорости света.

Часто скорость тела относительно неподвижной системы координат называют абсолютной скоростью , относительно подвижной системы координат - относительной, а скорость тела отсчёта, связанного с подвижной системой, относительно неподвижной - переносной скоростью .

Тогда закон сложения скоростей имеет вид a = отн + пер.

Источник: «Физика - 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Кинематика - Физика, учебник для 10 класса - Класс!ная физика

Физика и познание мира --- Что такое механика ---

Основная статья: Теорема о сложении скоростей

В классической механике абсолютная скорость точки равна векторной сумме её относительной и переносной скоростей:

Данное равенство представляет собой содержание утверждения теоремы о сложении скоростей.

Простым языком: Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости (относительно неподвижной системы) той точки подвижной системы отсчёта, в которой в данный момент времени находится тело.

1. Абсолютная скорость мухи, ползущей по радиусу вращающейся граммофонной пластинки, равна сумме скорости её движения относительно пластинки и той скорости, которую имеет точка пластинки под мухой относительно земли (то есть с которой её переносит пластинка за счёт своего вращения).

2. Если человек идёт по коридору вагона со скоростью 5 километров в час относительно вагона, а вагон движется со скоростью 50 километров в час относительно Земли, то человек движется относительно Земли со скоростью 50 + 5 = 55 километров в час, когда идёт по направлению движения поезда, и со скоростью 50 — 5 = 45 километров в час, когда он идёт в обратном направлении. Если человек в коридоре вагона движется относительно Земли со скоростью 55 километров в час, а поезд со скоростью 50 километров в час, то скорость человека относительно поезда 55 — 50 = 5 километров в час.

3. Если волны движутся относительно берега со скоростью 30 километров в час, и корабль также со скоростью 30 километров в час, то волны движутся относительно корабля со скоростью 30 — 30 = 0 километров в час, то есть относительно корабля они становятся неподвижными.

Из формулы для ускорений следует, что если движущаяся система отсчета движется относительно первой без ускорения, то есть , то ускорение тела относительно обеих систем отсчета одинаково.

Поскольку в Ньютоновской динамике из кинематических величин именно ускорение играет роль (см. второй закон Ньютона), то, если довольно естественно предположить, что силы зависят лишь от относительного положения и скоростей физических тел (а не их положения относительно абстрактного начала отсчета), окажется, что все уравнения механики запишутся одинаково в любой инерциальной системе отсчета — иначе говоря, законы механики не зависят от того, в какой из инерциальных систем отсчета мы их исследуем, не зависят от выбора в качестве рабочей какой-либо конкретной из инерциальных систем отсчета.

Также — поэтому — не зависит от такого выбора системы отсчета наблюдаемое движение тел (учитывая, конечно, начальные скорости). Это утверждение известно как принцип относительности Галилея , в отличие от Принципа относительности Эйнштейна

Иным образом этот принцип формулируется (следуя Галилею) так:

Если в двух замкнутых лабораториях, одна из которых равномерно прямолинейно (и поступательно) движется относительно другой, провести одинаковый механический эксперимент, результат будет одинаковым.

Требование (постулат) принципа относительности вместе с преобразованиями Галилея, представляющимися достаточно интуитивно очевидными, во многом следует форма и структура ньютоновской механики (и исторически также они оказали существенное влияние на ее формулировку). Говоря же несколько более формально, они накладывают на структуру механики ограничения, достаточно существенно влияющие на ее возможные формулировки, исторически весьма сильно способствовавшие ее оформлению.

Центра масс системы материальных точек

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:

где — радиус-вектор центра масс, — радиус-вектор i -й точки системы, — масса i -й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

где — суммарная масса системы, — объём, — плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Можно показать, что если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами , то радиус-вектор центра масс такой системы связан с радиус-векторами центров масс тел соотношением:

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

Закон движения центра масс

Теорема о движении центра масс (центра инерции) системы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Утверждает, что ускорение центра масс механической системы не зависит от внутренних сил, действующих на тела системы, и связывает это ускорение с внешними силами, действующими на систему.

Объектами, о которых идёт речь в теореме, могут, в частности, являться следующие :

Импульс материальной точки и системы тел - это физическая векторная величина, которая является мерой действия силы, и зависит от времени действия силы.

Закон сохранения импульса (доказательство)

Закон сохранения импульса (Закон сохранения количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной из фундаментальных симметрий, — однородностью пространства .

Согласно второму закону Ньютона для системы из N частиц:

где импульс системы

а — равнодействующая всех сил, действующих на частицы системы

Здесь — равнодействующая сил, действующим на n -ю частицу со стороны m -ой, а — равнодействующая всех внешних сил, действующих k -ю частицу. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида и будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть . Поэтому вторая сумма в правой части выражения (1) будет равна нулю, и получаем, что производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему:

Внутренние силы исключаются третьим законом Ньютона.

Для систем из N частиц, в которых сумма всех внешних сил равна нулю

или для систем, на частицы которых не действуют внешние силы (для всех k от 1 до n), имеем

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

(постоянный вектор).

То есть суммарный импульс системы из N частиц, где N любое целое число, есть величина постоянная. Для N = 1 получаем выражение для одной частицы.

Закон сохранения импульса выполняется не только для систем, на которые не действуют внешние силы, но и для систем, сумма всех внешних сил равна нулю. Равенство нулю всех внешних сил достаточно, но не необходимо для выполнения закона сохранения импульса.

Если проекция суммы внешних сил на какую-либо направление или координатную ось равна нулю, то в этом случае говорят о законе сохранения проекции импульса на данное направление или координатную ось.

Динамика вращательного движения твердого тела

Основной закон динамики МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ при вращательном движении можно сформулировать следующим образом:

"Произведение момента инерции на угловое ускорение равно результирующему моменту сил, действующих на материальную точку: "M = I·e.

Основной закон динамики вращательного движения ТВЕРДОГО ТЕЛА относительно закрепленной точки можно сформулировать следующим образом:

"Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно суммарному моменту внешних сил, действующих на тело. Моменты сил и инерции берутся относительно оси (z), вокруг которой происходит вращение: "

Основные понятия: момент силы, момент инерции, момент импульса

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению) на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

Момент инерции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Момент импульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массывращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно — если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — псевдоскаляр.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.