Научная работа. Простые числа- это просто. История простых чисел Факты про отрицательные числа
Простые и составные числа. Признаки делимости.
2014-02-01
Частное
делитель числа
кратное число
четное число
нечетное число
простое число
составное число
Признак делимости на 2
Признак делимости на 4
Признак делимости на 5
Признак делимости на 3 и 9
Если $a$ и $b$ - натуральные числа, причем
$a=bq$,
где $q$ - также натуральное число, то говорят, что $q$ -
частное от деления числа $a$ на число $b$, и пишут: $q = a/b$.
Также говорят, что $a$ делится на $b$ нацело
или без остатка
.
Всякое число $b$, на которое $a$ делится без остатка, называется делителем числа $a$
Само
число $a$ но отношению к своему делителю называется кратным
Таким образом, числа, кратные $b$, суть числа $b, 2b, 3b, \cdots$.
Числа, кратные числу 2 (т. е. делящиеся на 2 без остатка), называются четными
.Числа, не делящиеся на 2 нацело, называются нечетными
Каждое натуральное число либо четно, либо нечетно.
Если каждое из двух чисел $a_{1}, a_{2}$ является кратным числа $b$, то и сумма $a_{1}+a_{2}$ - кратное числа $b$. Это видно из записи $a_{1}=bq_{1}, a_{2}=bq_{2}; a_{1}+a_{2}=bq_{1}+bq_{2}= b (q_{1}+q_{2})$.
Обратно, если $a_{1}$ и $a_{1}+a_{2}$ - кратные числа $b$, то $a_{2}$ - также кратное числа $b$.
Всякое отличное от единицы натуральное число имеет по меньшей мере два делителя: единицу и самоё себя.
Если число не имеет никаких других делителей, кроме себя и единицы, оно называется простым
.Число, имеющее какой-нибудь делитель, отличный от себя и единицы, называют составным
Числом. Единицу принято не относить ни к простым, ни к составным числам. Вот несколько первых простых чисел, записанных в порядке возрастания:
$2,3,5,7,11,13,17, \cdots$
Число 2 - единственное четное простое число; все остальные простые числа - нечетные.
То, что простых чисел имеется бесконечное множество, было установлено еще в древности (Евклид, III век до нашей эры).
Идея доказательства Евклида бесконечности множества простых чисел весьма проста. Допустим, что простых чисел - конечное число; перечислим их все, например, расположив в порядке возрастания:
$2,3,5, \cdots , p$. (1)
Составим число, равное их произведению плюс единица:
$a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdots p+1$.
Очевидно, что это число не делится ни на одно из чисел (1). Следовательно, либо оно само является простым, либо, если оно составное, то имеет простой делитель, отличный от чисел (1), что противоречит допущению о том, что в записи (1) перечислены все простые числа.
Это доказательство представляет большой интерес, так как дает пример доказательства теоремы существования (бесконечного множества простых чисел), не связанного с фактическим отысканием объектов, существование которых доказывается.
Можно доказать, что всякое составное число представимо в виде произведения простых чисел. Так, например,
$1176 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ или $1176 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 7^{2}$.
Как видно из этого примера, в разложении данного числа на простые множители некоторые из них могут повторяться несколько раз.
В общем случае в записи разложения числа $a$ на простые множители
$a = p^{k_{1}}_{1} p^{k_{2}}_{2} \cdots p^{k_{n}}_{n}$ (2)
подразумевается, что все простые числа $p_{1},p_{2}, \cdots , p_{n}$ различны между собой (причем $p_{1}$ повторяется множителем $k_{1}$ раз, $p_{2}$ повторяется множителем $k_{2}$ раз и т. д.). При этом условии можно доказать, что разложение единственно с точностью до порядка записи сомножителей.
При разложении числа на простые множители полезно бывает использовать признаки делимости, позволяющие выяснить, делится ли данное число на некоторое другое число без остатка, не производя самого деления. Мы выведем признаки делимости на числа 2, 3, 4, 5, 9.
Признак делимости на 2. На 2 делятся те и только те числа, в записи которых последняя цифра выражает четное число (0, 2, 4, 6 или 8).
Доказательство. Представим число $\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}}$ в виде $\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}} = \overline{c_{1}c_{2} \cdots 0} + c_{m}$.
Первое слагаемое в правой части делится на 10 и потому - четное; сумма будет четной тогда и только тогда, когда $c_{m}$ - четное число.
Признак делимости на 4 Число $\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}}$ делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, выражаемое его последними двумя цифрами, делится на 4.
Доказательство. Представим число $\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}}$ в виде
$\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}} = \overline{c_{1}c_{2} \cdots 00} + \overline{c_{m-1}c_{m}}$
Первое слагаемое делится на 100 и тем более на 4. Сумма будет делиться на 4 в том и только в том случае, если $\overline{c_{m-1}c_{m}}$ делится на 4.
Признак делимости на 5. На 5 делятся те и только те числа, запись которых заканчивается цифрой 0 или цифрой 5.
Признаки делимости на 3 и на 9. Число делится на 3 {соответственно на 9) в том и только в том случае, когда сумма его цифр делится на 3 (соответственно на 9).
Доказательство. Запишем очевидные равенства
$10 = 9+1$,
$100 = 99 + 1$,
$1000 = 999+1$,
$ \cdots $,
в силу которых можно число $\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}}$ представить в виде
$a_{m}=c_{1}(99 \cdots 9 + 1) + \cdots + c_{m-1} (9+1) + c_{m}$
или
$a_{m}=c_{1} \cdot 99 \cdots 9 + \cdots + c_{m-1} \cdot 9 + (c_{1} + c_{2} + \cdots + c_{m-1} + c_{m})$.
Видно, что все слагаемые, кроме, быть может, последней скобки, делятся на 9 (и тем более на 3). Поэтому данное число делится на 3 или на 9 тогда и только тогда, когда делится на 3 или на 9 сумма его цифр $c_{1}+c_{2}+ \cdots + c_{m}$.
Молоков Максим
В этом году мы изучили тему «Простые и составные числа», и мне стало интересно, кто из учёных занимался их изучением, как получить простые числа, кроме тех, которые содержатся на форзаце нашего учебника (от 1 до 1000), это стало целью выполнения этой работы.
Задачи:
1. Изучить историю открытия простых чисел.
2. Познакомиться с современными методами отыскания простых чисел.
3. Узнать о том, в каких научных областях применяются простые числа.
4. Есть ли среди русских учёных имена тех, кто занимался изучением простых чисел.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
История простых чисел МБОУ Суховская СОШ Автор: ученик 6 класса Молоков Максим Руководитель: учитель математики Бабкина Л. А. п. Новосуховый декабрь 2013 год
В этом году мы изучили тему «Простые и составные числа», и мне стало интересно, кто из учёных занимался их изучением, как получить простые числа, кроме тех, которые содержатся на форзаце нашего учебника (от 1 до 1000), это стало целью выполнения этой работы. Задачи: 1. Изучить историю открытия простых чисел. 2. Познакомиться с современными методами отыскания простых чисел. 3. Узнать о том, в каких научных областях применяются простые числа. 4. есть ли среди русских учёных имена тех, кто занимался изучением простых чисел.
Всякий, кто изучает простые числа, бывает очарован и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно; найти очередное простое число так легко; разложение на простые сомножители - такое естественное действие. Почему же простые числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его? Ч. Узерелл.
Пифагор и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа) , они называли совершенным числом. Например,числа 6 (6 = 1 + 2 +3) , 28 (28 = 1+2+4+7+14) совершенные. Следующие совершенные числа – 496, 8128, 33550336.. Пифагор (VI в. до н.э.)
Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое – 8128 – стало известным в первом веке н.э. Пятое – 33550336 – было найдено в XV в. К 1983 г. Было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.
Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т.е. простые числа – это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.
Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно – в одних частях ряда их больше, в других – меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа.
Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н.э.) в своей книге («Начала»), бывшей на протяжении 2000 лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть большее простое число Евклид (III в. до н.э.)
Для отыскания простых чисел другой греческий математик Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от одного до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является не простым, не составным числом, затем вычёркивал через одно все числа, идущие после 2 числа, кратные двум, т.е. 4,6,8, и т.д.
Первым оставшимся числом после двух было 3. Далее вычёркивались через два все числа, идущие после трёх (числа кратные 3, т.е. 6,9,12, и т.д.). В конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.
Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на тянутом папирусе, а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных.
Итак, простыми числами от 2 до 60 являются 17 чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59. таким способом и в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин.
Евклид (III в. до н.э.) доказал, что между натуральным числом n и n ! обязательно найдётся хотя бы одно простое число. Тем самым он доказал, что натуральный ряд чисел бесконечен. В середине Х I Х в. русский математик и механик Пафнутий Львович Чебышев доказал более сильную теорему, чем Евклид. Между натуральным числом n и числом в 2 раза больше его, т.е. 2 n содержится хотя бы одно простое число. То есть, в теореме Евклида число n ! заменил числом 2n. Пафнутий Львович Чебышёв (1821-1894) русский математик и механик
Возникает следующий вопрос: «Если так трудно найти следующее простое число, то где и для чего эти числа можно использовать на практике?» Наиболее распространенным примером использования простых чисел является применение их в криптографии (шифровании данных). Самые безопасные и трудно дешифруемые методы криптографии основаны на применении простых чисел, имеющих в составе более трех сотен цифр.
Заключение Проблема отсутствия закономерностей распределения простых чисел занимает умы человечества еще со времен древнегреческих математиков. Благодаря Евклиду мы знаем, что простых чисел бесконечно много. Эрастофен предложил первый алгоритм тестирования чисел на простоту. Чебышев и многие другие известные математики пытались и пытаются по сей день разгадать загадку простых чисел. На сегодняшний момент найдено и предложено множество изящных алгоритмов, закономерностей, но все они применимы лишь для конечного ряда простых чисел или простых чисел специального вида. Передним же краем науки в исследованиях простых чисел на бесконечности считается доказательство гипотезы Римана. Она входит в семерку неразрешенных проблем тысячелетия, за доказательство или опровержение которой математическим институтом Клэя предложена премия в 1.000.000 $.
Интернет – источники и литература http://www.primenumb.ru/ http://www.bestpeopleofrussia.ru/persona/Pafnutiy-Chebyshev/bio/ http://uchitmatematika.ucoz.ru/index/vayvayvayjajavvvjavvvvva/0-7 Учебник «Математика» для шестого класса образовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург – М. Мнемозина 2010 г./
Отдел образования и молодежной политики администрации
Яльчикского района Чувашской Республики
Проект
Простые числа…
Так ли проста их история?
Выполнила ученица 7 класса МОУ «Новошимкусская СОШ Яльчикского района Чувашской Республики» Ефимова Марина
Руководитель: учитель математики I категории МОУ «Новошимкусская СОШ Яльчикского района Чувашской Республики» Кириллова С.М.
с.Новые Шимкусы - 2007
Определение простых чисел 3
Заслуги Эйлера 3
Основная теорема арифметики 4
Простые числа Мерсена 4
Простые числа Ферма 5
Решето Эратосфена 5
Открытие П.Л.Чебышева 6
Проблема Гольдбаха 7
И.М.Виноградов 8
Заключение 8
Литература 10
Интерес к изучению простых чисел возник у людей в глубокой древности. И вызван он был не только практической необходимостью. Привлекала их необычайная магическая сила. Числа, которыми можно выразить количество любых предметов. Неожиданные и в то же время естественные свойства натуральных чисел, обнаруженные древними математиками, удивляли их своей замечательной красотой и вдохновляли на новые исследования.
Должно быть, одним из первых свойств чисел, открытых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителей, например,
6=2*3, 9=3*3, 30=2*15=3*10, в то время как другие, например 3, 7, 13, 37, не могут быть разложены подобным образом.
Когда число с = а b является произведением двух чисел а и b, то числа а и b называются множителями или делителями числа с. Каждое число может быть представлено в виде произведения двух сомножителей. Например, с = 1 *с = с*1.
Простым называется число, которое делится только само на себя и на единицу.
Единица, имеющая только один делитель, к простым числам не относится. Не относится она и к составным числам. Единица занимает особое положение в числовом ряду. Пифагорейцы учили, что единица - матерь всех чисел, дух, из которого происходит весь видимый мир, она есть разум, добро, гармония.
В Казанском университете профессор Никольский с помощью единицы ухитрился доказать существование Бога. Он говорил: «Как не может быть числа без единицы, так и Вселенная без единого Владыки существовать не может».
Единица и в самом деле - число уникальное по свойствам: она делится только сама на себя, но любое другое число на нее делится без остатка, любая ее степень равна тому же самому числу - единице!
После деления на нее ни одно число не изменяется, а если и поделить любое число на самое себя, получится опять же единица! Не удивительно ли это? Поразмыслив над этим, Эйлер заявил: «Нужно исключить единицу из последовательности простых чисел, она не является ни простым, ни составным».
Это было уже существенно важное упорядочивание в темном и сложном вопросе о простых числах.
Заслуги Эйлера
Леонард Эйлер
(1707-1783)
У Эйлера учились все - ив Западной Европе, и в России. Диапазон его творчества широк: дифференциальное и интегральное исчисления, алгебра, механика, диоптрика, артиллерия, морская наука, теория движения планет и Луны, теория музыки - всего не перечислить. Во всей этой научной мозаике находится и теория чисел. Эйлер отдал ей немало сил и немалого добился. Он, как и многие его предшественники, искал магическую формулу, которая позволяла бы выделить простые числа из бесконечного множества чисел натурального ряда, т. е. из всех чисел, какие можно себе представить. Эйлер написал более ста сочинений по теории чисел.
...Доказано, например, что число простых чисел неограничено, т. е.: 1) нет самого большого простого числа; 2) нет последнего простого числа, после которого все числа были бы составными. Первое доказательство этого положения принадлежит ученым древней Греции (V-Ш вв. до н. э.), второе доказательство - Эйлеру (1708-1783).
Основная теорема арифметики
Всякое натуральное число, отличное от 1, либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причем однозначно, если не обращать внимания на порядок следования множителей.
Доказательство.
Возьмем натуральное число п≠
1. Если n - простое, то это тот случай, о котором сказано в заключении теоремы. Теперь предположим, что n - составное. Тогда оно представлено в виде произведения п = а
b
,
где натуральные числа а и b меньше n. Опять либо a и b - простые, тогда все доказано, либо хотя бы одно из них составное, т. е. составлено из меньших множителей и так далее; в конце концов мы получим разложение на простые множители.
Если число n не делится ни на одно простое, не превосходящее √ n , то оно является простым.
Доказательство. Предположим противное, пусть n - составное и п = аЬ, где 1 ≤b и р - простой делитель числа а, значит, и числа n. По условию п не делится ни на одно простое, не превосходящее √ n . Следовательно, р >√ n . Но тогда а >√ n и √ n ≤ а ≤ b,
откуда п = а b = √ n √ n = п; пришли к противоречию, предположение было неверным, теорема доказана.
Пример 1. Если с = 91, то √ с = 9, ... проверим простые числа 2, 3, 5, 7. Находим, что 91 = 7 13.
Пример 2. Если с = 1973, то находим √ c = √ 1973 =44, ...
так как ни одно простое число до 43 не делит с, то это число является простым.
Пример 3. Найдите простое число, следующее за простым числом 1973. Ответ: 1979.
Простые числа Мерсена
В течение нескольких столетий шла погоня за простыми числами. Многие математики боролись за честь стать открывателями самого большого из известных простых чисел.
Простые числа Мерсена являются простыми числами специального вида M p = 2 p - 1
где р - другое простое число.
Эти числа вошли в математику давно, они появляются еще в евклидовых размышлениях о современных числах. Свое название они получили в честь французского монаха Меренна Мерсена (1589-1648), который долго занимался проблемой современных чисел.
Если вычислять числа по этой формуле, получим:
M 2 = 2 2 – 1 = 3 – простое;
M 3 = 2 3 – 1 = 7 – простое;
M 5 = 2 5 – 1 = 31– простое;
M 7 = 2 7 – 1 = 127 – простое;
M 11 = 2 11 – 1 = 2047 = 23 * 89
Общий способ нахождения больших простых чисел Мерсена состоит в проверке всех чисел M p для различных простых чисел р.
Эти числа очень быстро увеличиваются и столь же быстро увеличиваются затраты труда на их нахождение.
В исследовании чисел Мерсена можно выделить раннюю стадию, достигшую своей кульминации в 1750 г., когда Эйлер установил, что число M 31 является простым. К тому времени было найдено восемь простых чисел Мерсена: " г
р = 2, р= 3, р = 5, р = 7, р = 13, р = 17, р = 19, р =31.
Эйлерово число M 31 оставалось самым большим из известных простых чисел более ста лет.
В 1876 г. французский математик Лукас установил, что огромное число M 127 - с 39 цифрами. 12 простых чисел Мерсена были вычислены с помощью только карандаша и бумаги, а для вычисления следующих уже использовались механические настольные счетные машины.
Появление вычислительных машин с электрическим приводом позволило продолжить поиски, доведя их до р = 257.
Однако результаты были неутешительными, среди них не оказалось новых простых чисел Мерсена.
Затем задача была переложена на ЭВМ.
Самое большое известное в настоящее время простое число имеет 3376 цифр. Это число было найдено на ЭВМ в Иллинойском университете (США). Математический факультет этого университета был так горд своим достижением, что изобразил это число на своем почтовом штемпеле, таким образом воспроизводя его на каждом отсылаемом письме для всеобщего обозрения.
Простые числа Ферма
Существует еще один тип простых чисел с большой и интересной историей. Они были впервые введены французским юристом Пьером Ферма (1601-1665), который прославился своими выдающимися математическими работами.
Пьер Ферма (1601-1665)
Первыми простыми числами Ферма были числа, которые удовлетворяли формуле F n = + 1.
F 0 = + 1 = 3;
F 1 = + 1 = 5;
F 2 = + 1 = 17;
F 3 = + 1 = 257;
F 4 = + 1 = 65537.
Однако, это предположение было сдано в архив неоправдавшихся математических гипотез, но после того, как Леонард Эйлер сделал еще один шаг и показал, что следующее число Ферма F 5 = 641 6 700 417 является составным.
Возможно, что история чисел Ферма была бы закончена, если бы числа Ферма не появились в совсем другой задаче - на построение правильных многоугольников при помощи циркуля и линейки.
Однако ни одного простого числа Ферма не было найдено, и сейчас многие математики склонны считать, что их больше нет.
Решето Эратосфена
Существуют таблицы простых чисел, простирающихся до очень больших чисел. Как подступиться к составлению такой таблицы? Эта задача была, в известном смысле, решена (около 200 г. до н. э.) Эратосфеном, математиком из Александрии. -
Его схема состоит в следующем. Напишем последовательность всех целых чисел от 1 до числа, которым мы хотим закончить таблицу.
Начнем с простого числа 2. Будем выбрасывать каждое второе число. Начнем с 2 (кроме самого числа 2), т. е. четных чисел: 4, 6, 8, 10 и т. д., подчеркиваем каждое из них.
После этой операции первым неподчеркнутым числом будет 3. Оно простое, так как не делится на 2. Оставляя число 3 неподчеркнутым, будем подчеркивать каждое третье число после него, т. е. числа 6, 9, 12, 15... Некоторые из них были уже подчеркнуты, поскольку они являются четными. На следующем шаге первым неподчеркнутым числом окажется число 5; оно простое, так как не делится ни на 2, ни на 3. Оставим число 5 неподчеркнутым, но подчеркнем каждое пятое число после него, т. е. числа 10, 15, 20... Как и раньше, часть из них оказалась подчеркнутой. Теперь наименьшим неподчеркнутым числом окажется число 7. Оно простое, так как не делится ни на одно из меньших его простых чисел 2, 3, 5. Повторяя этот процесс, мы в конце концов получим последовательность неподчеркнутых чисел; все они (кроме числа 1) являются простыми. Этот метод отсеивания чисел известен как «решето Эратосфена». Любая таблица простых чисел создается по этому принципу.
Эратосфен создал таблицу простых чисел от 1 до 120 более 2000 лет назад. Он писал на папирусе, натянутом на рамку, или на восковой дощечке, и не зачеркивал, как это делаем мы, а прокалывал составные числа. Получалось нечто вроде решета, через которое «просеивались» составные числа. Поэтому таблицу простых чисел называют «решетом Эратосфена».
Сколько всего простых чисел? Есть ли последнее простое число, т. е. такое, после которого все числа будут составными? Если такое число есть, то как его найти? Все эти вопросы интересовали ученых еще в глубокой древности, но ответ на них оказалось не так-то просто найти.
Эратосфен был остроумнейшим человеком. Этот современник и друг Архимеда, с которым он постоянно переписывался, был и математиком, и астрономом, и механиком, что считалось естественным для великих мужей того времени. Он первым измерил диаметр земного шара, причем не выходя из александрийской библиотеки, где работал. Точность его измерения была поразительно высокой, даже выше той, с которой измерил Землю Архимед.
Эратосфен изобрел хитроумный прибор - мезолабит, с помощью которого механически решил известную задачу об удвоении куба, чем очень гордился, и потому отдал распоряжение изобразить этот прибор на колонне в Александрии. Мало того, он поправил египетский календарь, добавив один день к четырем годам - в високосный год.
Решето Эратосфена - это примитивное и в то же время гениальное изобретение, до которого не додумался и Евклид, - наводит на общеизвестную мысль, что все гениальное просто.
Эратосфеново решето неплохо поработало на исследователей далеко не простых чисел. Шло время. Шли поиски способов отлова простых чисел. Началось своеобразное соревнование на изыскание наибольшего простого числа с древнейших времен до Чебышева и даже до наших дней.
Открытие П.Л. Чебышева
Итак, число простых чисел бесконечно. Мы уже видели, что простые числа размещаются без какого-либо порядка. Проследим более подробно.
2 и 3 - простые числа. Это единственная пара простых чисел, стоящих рядом.
Затем идут 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 и т.д. Это так называемые смежные простые числа или близнецы. Близнецов много: 29 и 31, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73, 101 и 103, 827 и 829 и т. д. Самая большая известная сейчас пара близнецов такая: 10016957 и 10 016 959.
Панфутий Львович Чебышев
Как же распределены простые числа в натуральном ряду, в котором не будет ни одного простого числа? Есть ли какой-нибудь закон в их распределении или нет?
Если есть, то какой? Как найти его? Но ответ на эти вопросы не находился более 2000 лет.
Первый и очень большой шаг в разрешении этих вопросов сделал великий русский ученый Панфутий Львович Чебышев. В 1850 г. он доказал, что между любым натуральным числом (не равным 1) и числом, в два раза больше его (т. е. между n и 2n), находится хотя бы одно простое число.
Проверим это на несложных примерах. Примем для n несколько произвольных значений n.
и найдем соответственно значение 2n.
n = 12, 2n = 24;
n = 61, 2n = 122;
n = 37, 2n = 74.
Мы видим, что для рассмотренных примеров теорема Чебышева верна.
Чебышев доказал ее для любого случая, для любого n. За эту теорему его назвали победителем простых чисел. Открытый Чебышевым закон распределения простых чисел был поистине фундаментальным законом в теории чисел после закона, открытого Евклидом, о бесконечности количества простых чисел.
Едва ли не самый добрый, самый восторженный отклик на открытие Чебышева пришел из Англии от известного математика Сильвестра: «...Дальнейших успехов теории простых чисел можно ожидать тогда, когда родится некто, настолько превосходящий Чебышева своей проницательностью и вдумчивостью, насколько Чебышев превосходит этими качествами обыкновенных людей».
Более чем полвека спустя немецкий математик Э. Ландау, крупный специалист в теории чисел, добавил к этому высказыванию следующее: «Первым после Евклида Чебышев пошел правильным путем при решении проблемы простых чисел и достиг важных результатов».
Проблема Гольдбаха
Выпишем все простые числа от 1 до 50:
2, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
А теперь попытаемся любое число от 4 до 50 представить в виде суммы двух или трех простых чисел. Возьмем несколько чисел наугад:
Как видим, поставленную задачу мы выполнили без труда. А всегда ли это возможно? Любое ли число можно представить в виде суммы нескольких простых чисел? И если можно, то скольких: двух? трех? десяти?
В 1742 г. член Петербургской академии наук Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предположение, что любое целое положительное число, большее пяти, представляет собой сумму не более чем трех простых чисел.
Гольдбах испытал очень много чисел и ни разу не встретил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трех простых слагаемых. Но будет ли так всегда, он не доказал. Долго ученые занимались этой задачей, которая названа «проблемой Гольдбаха» и сформулирована следующим образом.
Требуется доказать или опровергнуть предложение:
всякое число, большее единицы, является суммой не более трех простых чисел.
Почти 200 лет выдающиеся ученые пытались разрешить проблему Гольдбаха-Эйлера, но безуспешно. Многие пришли к выводу о невозможности ее решить.
Но решение ее, и почти полностью, было найдено в 1937 г. советским математиком И.М. Виноградовым.
И.М. Виноградов
Иван Матвеевич Виноградов является одним из крупнейших современных математиков. Родился он 14 сентября 1891 г. в селе Милолюб Псковской губернии. В 1914 г. окончил Петербургский университет и был оставлен для подготовки к профессорскому званию.
Свою первую научную работу И.М. Виноградов написал в 1915 г. С тех пор им написано более 120 различных научных работ. В них он разрешил много задач, над которыми ученые всего мира трудились десятки и сотни лет.
Иван Матвеевич Виноградов
За заслуги в области математики И.М. Виноградов всеми учеными мира признан одним из первых математиков современности, избран в число членов многих академий мира.
Мы гордимся нашим замечательным соотечественником.
Заключение.
Из класса - в мировое пространство
Беседу о простых числах начнем увлекательным рассказом о воображаемом путешествии из класса в мировое пространство. Это воображаемое путешествие придумал известный советский педагог-математик профессор Иван Козьмич Андронов (род. в 1894 г.). «...а) мысленно возьмем прямолинейный провод, выходящий из классной комнаты в мировое пространство, пробивающий земную атмосферу, уходящий туда, где Луна совершает вращение, и далее - за огненный шар Солнца, и далее - в мировую бесконечность;
б) мысленно подвесим на провод через каждый метр электрические лампочки, нумеруя их, начиная с ближайшей: 1, 2, 3, 4, ..., 100, ..., 1000, ..., 1 000 000...;
в) мысленно включим ток с таким расчетом, чтобы загорелись все лампочки с простыми номерами и только с простыми номерами; : .
г) мысленно долетим вблизи провода.
Перед нами развернется следующая картина.
1. Лампочка с номером 1 не горит. Почему? Потому что единица не есть простое число.
2. Две следующие лампочки с номерами 2 и 3 горят, так как 2 и 3 - оба простые числа. Могут ли в дальнейшем встретиться две смежные горящие лампочки? Нет, не могут. Почему? Всякое простое число, кроме двух, есть число нечетное, а смежные с простым по ту и другую сторону будут числа четные, а всякое четное, отличное от двух, является составным числом, так как делится на два.
3. Дальше наблюдаем пару лампочек, горящих через одну лампочку с номерами 3 и 5, 5 и 7 и т. д. Понятно, почему они горят: это близнецы. Замечаем, что в дальнейшем они встречаются реже; все пары близнецов, как и пары простых чисел, имеют вид 6n ± 1; например
6*3 ± 1 равно 19 и 17
или 6*5 ± 1 равно 31 и 29, ...;
но 6*20 ± 1 равно 121 и119- эта пара не близнец, так как есть пара составных чисел.
Долетаем до пары близнецов 10 016 957 и 10 016 959. Будут ли и дальше пары близнецов? Современная наука пока ответа не дает: неизвестно, существует ли конечное или бесконечное множество пар близнецов.
4. Но вот начинает действовать закон большого промежутка, заполненного только составными номерами: летим в темноте, смотрим назад - темнота, и впереди не видно света. Вспоминаем свойство, открытое Евклидом, и смело движемся вперед, так как впереди должны быть светящиеся лампочки, и впереди их должно быть бесконечное множество.
5. Залетев в такое место натурального ряда, где уже несколько лет нашего движения проходит в темноте, вспоминаем свойство, доказанное Чебышевым, и успокаиваемся, уверенные, что во всяком случае, надо лететь не больше того, что пролетели, чтобы увидеть хотя бы одну светящуюся лампочку».
Литература
1.
Великий мастер индукции Леонард Эйлер.
2. За страницами учебника математики.
3. Прудников Н.И. П.Л. Чебышев.
4. Сербский И. А. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах.
5. Издательский дом «Первое сентября». Математика №13, 2002 г.
6. Издательский дом «Первое сентября». Математика №4, 2006 г.
Введение
Простое число -- это натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, бомльшие единицы, разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел.
Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Таким образом, простые числа -- элементарные «строительные блоки» натуральных чисел.
Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением на простые или факторизацией числа.
Из истории простых чисел
Греческий математик Эратосфен, живший более чем за 2000 лет до н.э., составил первую таблицу простых чисел. Эратосфен родился в городе Кирене, получил образование в Александрии под руководством Каллимаха и Лисания, в Афинах слушал философов Аристона Хиосского и Аркесилая, тесно сблизился со школой Платона. В 246г. до.н.э., после смерти Каллимаха, царь Птолемей Эвергет вызвал Эратосфена из Афин и поручил ему заведовать Александрийской библиотекой. Эратосфен работал во многих областях науки: филология, грамматика, история, литература, математика, хронология, астрономия, география и музыка.
Для отыскания простых чисел Эратосфен придумал такой способ. Он записал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычеркнул единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т.е. 4,6,8, и т.д.) . Первым оставшимся числом после 2 был 3. Далее вычеркивались все числа кратные 3, т.е. 6,9,12, и т.д. В конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа. (рис.1)
Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных. Таким способом в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин.
Простые числа в природе и их использование человеком
1) Периодические цикады
Люди изменили окружающий нас мир, построили невероятные города, и разработали впечатляющие технологии, которые привели к появлению современного мира. Спрятанный под внешней оболочкой планеты, где мы живем, невидимый мир состоит из чисел, последовательностей и геометрии. Математика - это код, который придает смысл всей вселенной.
В лесах Теннеси этим летом часть кода, о котором идет речь, в прямом смысле слова выросла прямо из земли. Каждые 13 лет примерно на 6 недель хор насекомых очаровывает всех, кто становится свидетелем этого редкого природного явления. Выживание этих цикад, которых можно найти только в восточных регионах северной Америки, зависит от странных свойств некоторых из самых фундаментальных чисел в математике - простых чисел, чисел, делящихся только на самих себя и других.
Цикады появляются здесь периодически, но их появление всегда происходит в те года, числа которых состоят из простых чисел. В случае с выводком, который появился вокруг Нэшвилле в этом году, то с момента их прошлого появления прошло 13 лет. Выбор 13-детнего цикла не кажется случайным. В разных частях северной Америки есть еще два выводка, жизненный цикл которых также составляет 13 лет. Они возникают в разных регионах и в разные года, но между появлениями этих живых существ проходит ровно 13 лет. Вдобавок, существует еще 12 выводков насекомых, которые появляются через каждые 17 лет.
Вы можете принять эти числа за совершенно случайные. Но это очень любопытно, что не существует цикад с циклом жизни, равным 12, 14, 15, 16 или 18 лет. Однако, посмотрите на этих цикад глазами математика и картина начинает проясняться. Потому, что числа 13 и 17 оба являются неделимыми, это дает цикадам эволюционные преимущества между другими животными, циклы жизни которых являются периодическими, а не простыми числами. Возьмем, к примеру, хищника, который появляется в лесах каждые шесть лет. Тогда восьми- или девятилетние циклы жизни цикад будут совпадать с циклами жизни хищников, в то время как семилетние циклы жизни будут совпадать с циклом жизни хищника намного реже.
Эти насекомые вмешались в математический код, чтобы выжить.
2) Криптография
Цикады обнаружили пользу использования простых чисел для своего выживания, однако люди поняли, что эти числа являются не только ключом к выживанию, но и огромным количеством строительного материала в математике. Каждое число, по сути, представляет собой совокупность простых чисел, а совокупность чисел составляет математику, а из математики вы получите целый научный мир.
Простые числа находят спрятанными в природе, но человечество научилось их использовать.
Понимание фундаментального характера этих чисел и использование их свойств людьми, в буквальном смысле поставило их в основу всех кодов, которых охраняют мировые кибер-секреты.
Криптография, благодаря которой наши кредитные карточки остаются в безопасности, когда мы покупаем что-нибудь онлайн, использует те же числа, которые защищают цикад в Северной Америке - простые числа. Каждый раз, когда вы вводите номер своей кредитной карты на вебсайте, вы полагаетесь на то, что простые числа сохранят ваши тайны и информацию о вас в секрете. Для кодирования вашей кредитной карты ваш компьютер получает публичный номер Н с вебсайта, который и будет использоваться для совершения операций с вашей кредитной картой.
Это перемешивает ваши данные так, что закодированное письмо может быть послано через интернет. Вебсайт использует простые числа, на которые делят число Н, чтобы раскодировать послание. Хотя Н является открытым числом, простые числа, из которых оно состоит, являются секретными ключами, которые расшифровывают данные. Причиной, по которой такое кодирование является настолько безопасным, является то, что очень легко перемножить простые числа между собой, но разложить число на простые практически невозможно.
3) Загадки простых чисел
Простые числа являются атомами арифметики, гидрогеном и оксигеном мира чисел. Но вопреки их фундаментальному характеру, они также являют собой одну из самых больших загадок математики. Потому что, проходя по вселенной чисел практически невозможно предсказать, где вы встретите следующее простое число.
Мы знаем, что количество простых чисел уходит в бесконечность, но поиск закономерности появления простых чисел является самой большой загадкой математики. Приз в миллион долларов обещан тому, кто сможет раскрыть тайну этих чисел. Загадка о том, когда первый раз цикады начали пользоваться простыми числами, чтобы выжить является такой же сложной, как и сама загадка простых чисел.
Простые числа - «капризны». Таблицы простых чисел обнаруживают большие «неправильности» в распределении простых чисел
Пестрота картины распределения простых чисел увеличивается еще более, если отметить, что существуют пары простых чисел, которые отделены в натуральном ряду только одним числом («близнецы»). Например. 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 10016957 и 10016959. С другой стороны, существуют пары простых чисел, между которыми много составных. Например, все 153 числа от 4652354 до 4652506 являются составными.
За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF назначила денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США.
Числа преследуют человека везде. Даже наше тело созвучно их миру - мы имеем определенное количество органов, зубов, волос и кожных клеток. Счет стал привычным, автоматическим действием, поэтому сложно представить, что когда-то люди не знали цифр. На самом деле история возникновения чисел прослеживается с самых древних времен.
Числа и первобытные люди
В какой-то момент человек ощутил большую потребность в счете. На это его
подтолкнула сама жизнь. Необходимо было каким-то образом организовывать племя, отправляя на охоту или собирательство только определенное количество человек. Поэтому для счета пользовались пальцами на руках. До сих пор есть племена, которые вместо цифры «5» показывают одну руку, а вместо десяти - две. С такого простого алгоритма счета и начала развиваться история возникновения чисел.
Простые числа
История возникновения чисел позволяет заметить, что люди довольно давно обнаружили разницу между нечетной и четной цифрой, а также различные взаимосвязи внутри самих числовых выражений. Немалый вклад в подобные
исследования внесли древние греки. Например, греческий ученый Эратосфен создал довольно легкий способ поиска простых чисел. Для этого он записывал нужное количество цифр по порядку, а потом начинал вычеркивать - сначала все числа, которые можно делить на два, потом - на три. В результате получался список цифр, которые ни на что не делятся, кроме единицы и себя самого. Этот метод был назван «решето Эратосфена» из-за того, что греки не вычеркивали, а выкалывали ненужные числа на табличках, покрытых воском.
Таким образом, история возникновения чисел - явление древнее и глубинное. По оценкам ученых, оно началось еще около 30 тысяч лет назад. За это время в жизни человека успело поменяться многое. Но и по сей день руководит нашим бытием.
Похожие статьи
-
«Гуси-лебеди» главные герои Главные герои гуси лебеди летят
4.46 /5 (89.23%) 700 голос[ов] Головний герой повісті М. Стельмаха «Гуси-лебеді летять» – маленький хлопчик Михайлик, який сприймає оточуючий його світ щиро і безпосередньо. Усе, що відбувається навколо нього – це справжня казка і диво....
-
Матпомощь мэи. Материальная помощь. Материальная помощь сотруднику: порядок выплаты, налогообложение и учет. Как правильно оформить материальную помощь сотруднику
Стипендия в МЭИ Вот уже и октябрь подходит к концу. и на днях нам на карточки свалилась уже вторая за эту осень стипендия. Но некоторые первокурсники так и не собрались сделать себе банковскую карточку, куда она должна приходить, поэтому я...
-
Владимирский государственный университет Владимирский государственный университет им а г
Владимирский государственный университет им. А. Г. и Н. Г. Столетовых (ВлГУ) - крупнейшее высшее учебное заведение Владимирской области.1 августа 1958 г. постановлением Совета Министров РСФСР открыт Владимирский филиал Московского...
-
Применение производной при решении неравенств
Производная широко применяется при решении ряда задач элементарной математики. Из всего круга таких задач выделим те, при решении которых используется теорема Лагранжа и ее следствия. К ним относятся задачи на доказательство тождеств,...
-
Биография марины цветаевой Фильм "Роман её души"
Родилась и двадцать лет (до замужества) прожила в доме № 8 в Трехпрудном переулке. Если идти от Пушкинской площади (бывшей Страстной) по Большой Бронной, то он будет на правой стороне. Еще в 1919 году Цветаева пророчески писала о будущем:...
-
Что такое интеллигентность: определение, примеры
Держи, тут явно больше 60-80 слов.Интеллигентность - высокий уровень развития интеллекта, образованности, высокой культуры поведения. Интеллигентность заключена не только (и даже - не столько!) в знаниях, но и в способности к пониманию...