Нахождение производной дроби. Правила вычисления производных. Формула производной дроби
При нахождении производной суммы дробей со степенями и корнями во избежание распространённых ошибок следует обращать внимание на следующие моменты:
- применяя формулу дифференцирования произведения и частного, чётко определять разницу между константой, производная которой равна нулю, и постоянным множителем, который просто выносится за знак производной;
- необходимо уверенно пользоваться знаниями из школьного курса по действиям со степенями и корнями, например, что происходит с показателями степени, когда умножаются степени с одинаковыми основаниями;
- что происходит со знаками, когда у производной слагаемого знак противоположен знаку самого слагаемого.
Пример 1. Найти производную функции
.
.
Здесь двойка перед иксом - постоянный множитель, поэтому его просто вынесли за знак производной.
Собираем всё вместе:
.
Если требуется в окончательном решении получить выражение с корнями, то преобразуем степени в корни и получаем искомую производную:
.
Пример 2. Найти производную функции
.
Решение. Находим производную первого слагаемого:
.
Здесь первая двойка в числителе промежуточного выражения была константой, её производная равна нулю.
Находим производную второго слагаемого:
Находим производную третьего слагаемого:
Здесь применяли знания из школьного курса о действиях с дробями , их преобразовании и сокращении.
Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знаки производных первого и третьего слагаемых противоположны знакам слагаемых в исходном выражении:
.
Пример 3. Найти производную функции
.
Решение. Находим производную первого слагаемого:
Находим производную второго слагаемого:
Производная третьего слагаемого - константы 1/2 - равна нулю (бывает, что студенты упорно пытаются найти отличную от нуля производную константы).
Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знак производной второго слагаемого противоположен знаку слагаемого в исходном выражении:
Пример 4. Найти производную функции
.
Решение. Находим производную первого слагаемого:
Находим производную второго слагаемого:
Находим производную третьего слагаемого:
Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знаки производных второго и третьего слагаемых - минусы:
.
Пример 5. Найти производную функции
.
Решение. Находим производную первого слагаемого.
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
Запомнить очень легко.
Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:
В нашем случае основанием служит число:
Такой логарифм (то есть логарифм с основанием) называется «натуральным», и для него используем особое обозначение: вместо пишем.
Чему равен? Конечно же, .
Производная от натурального логарифма тоже очень простая:
Примеры:
- Найди производную функции.
- Чему равна производная функции?
Ответы: Экспонента и натуральный логарифм - функции уникально простые с точки зрения производной. Показательные и логарифмические функции с любым другим основанием будут иметь другую производную, которую мы с тобой разберем позже, после того как пройдем правила дифференцирования.
Правила дифференцирования
Правила чего? Опять новый термин, опять?!...
Дифференцирование - это процесс нахождения производной.
Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же... Дифференциалом математики называют то самое приращение функции при. Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот.
При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например, и. Нам понадобятся также формулы их приращений:
Всего имеется 5 правил.
Константа выносится за знак производной.
Если - какое-то постоянное число (константа), тогда.
Очевидно, это правило работает и для разности: .
Докажем. Пусть, или проще.
Примеры.
Найдите производные функций:
- в точке;
- в точке;
- в точке;
- в точке.
Решения:
- (производная одинакова во всех точках, так как это линейная функция, помнишь?);
Производная произведения
Здесь все аналогично: введем новую функцию и найдем ее приращение:
Производная:
Примеры:
- Найдите производные функций и;
- Найдите производную функции в точке.
Решения:
Производная показательной функции
Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).
Итак, где - это какое-то число.
Мы уже знаем производную функции, поэтому давай попробуем привести нашу функцию к новому основанию:
Для этого воспользуемся простым правилом: . Тогда:
Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция - сложная.
Получилось?
Вот, проверь себя:
Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было, так и осталось, появился только множитель, который является просто числом, но не переменной.
Примеры:
Найди производные функций:
Ответы:
Это просто число, которое невозможно посчитать без калькулятора, то есть никак не записать в более простом виде. Поэтому в ответе его в таком виде и оставляем.
Заметим, что здесь частное двух функций, поэтому применим соответствующее правило дифференцирования:
В этом примере произведение двух функций:
Производная логарифмической функции
Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:
Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например, :
Нужно привести этот логарифм к основанию. А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:
Только теперь вместо будем писать:
В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной). Производная получается очень просто:
Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.
Производная сложной функции.
Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».
Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.
Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат. Итак, нам дают число (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось? Функция. Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.
Другими словами, сложная функция - это функция, аргументом которой является другая функция : .
Для нашего примера, .
Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа: . Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.
Второй пример: (то же самое). .
Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией , а действие, совершаемое первым - соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).
Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:
Ответы: Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции
- Первым будем выполнять какое действие? Сперва посчитаем синус, а только потом возведем в куб. Значит, внутренняя функция, а внешняя.
А исходная функция является их композицией: . - Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: . - Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: . - Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: . - Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: .
производим замену переменных и получаем функцию.
Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку - искать производную. Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции. Применительно к исходному примеру это выглядит так:
Другой пример:
Итак, сформулируем, наконец, официальное правило:
Алгоритм нахождения производной сложной функции:
Вроде бы всё просто, да?
Проверим на примерах:
Решения:
1) Внутренняя: ;
Внешняя: ;
2) Внутренняя: ;
(только не вздумай теперь сократить на! Из под косинуса ничего не выносится, помнишь?)
3) Внутренняя: ;
Внешняя: ;
Сразу видно, что здесь трёхуровневая сложная функция: ведь - это уже сама по себе сложная функция, а из нее еще извлекаем корень, то есть выполняем третье действие (шоколадку в обертке и с ленточкой кладем в портфель). Но пугаться нет причин: все-равно «распаковывать» эту функцию будем в том же порядке, что и обычно: с конца.
То есть сперва продифференцируем корень, затем косинус, и только потом выражение в скобках. А потом все это перемножим.
В таких случаях удобно пронумеровать действия. То есть, представим, что нам известен. В каком порядке будем совершать действия, чтобы вычислить значение этого выражения? Разберем на примере:
Чем позже совершается действие, тем более «внешней» будет соответствующая функция. Последовательность действий - как и раньше:
Здесь вложенность вообще 4-уровневая. Давай определим порядок действий.
1. Подкоренное выражение. .
2. Корень. .
3. Синус. .
4. Квадрат. .
5. Собираем все в кучу:
ПРОИЗВОДНАЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Производная функции - отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента:
Базовые производные:
Правила дифференцирования:
Константа выносится за знак производной:
Производная суммы:
Производная произведения:
Производная частного:
Производная сложной функции:
Алгоритм нахождения производной от сложной функции:
- Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную.
- Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную.
- Умножаем результаты первого и второго пунктов.
Формула производной дроби из двух функций. Доказательство двумя способами. Подробно разобранные примеры дифференцирования частного.
СодержаниеФормула производной дроби
Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки и имеют в точке производные. И пусть .
Тогда их частное имеет в точке производную, которая определяется по формуле:
(1)
.
Доказательство
Введем обозначения:
;
.
Здесь и являются функциями от переменных и .
Но для простоты записи мы будем опускать обозначения их аргументов.
Далее замечаем, что
;
.
По условию функции и имеют производные в точке ,
которые являются следующими пределами:
;
.
Из существования производных следует, что функции и непрерывны в точке .
Поэтому
;
.
Рассмотрим функцию y
от переменной x
,
которая является дробью из функций и :
.
Рассмотрим приращение этой функции в точке :
.
Умножим на :
.
Отсюда
.
Теперь находим производную:
.
Итак,
.
Формула доказана.
Вместо переменной можно использовать любую другую переменную. Обозначим ее как x
.
Тогда если существуют производные и ,
причем ,
то производная дроби, составленной двух функций, определяется по формуле:
.
Или в более короткой записи
(1)
.
Доказательство вторым способом
Примеры
Здесь мы рассмотрим простые примеры вычисления производной дроби, применяя формулу производной частного (1). Заметим, что в более сложных случаях, находить производную дроби проще с помощью логарифмической производной .
Пример 1
Найдите производную дроби
,
где ,
,
,
- постоянные.
Применим правило дифференцирования суммы функций :
.
Производная постоянной
.
Из таблицы производных находим:
.
Тогда
;
.
Заменим на и на :
.
Теперь находим производную дроби по формуле
.
.
Пример 2
Найти производную функции от переменной x
.
Применяем правила дифференцирования , как в предыдущем примере.
;
.
Применяем правило дифференцирования дроби
.
.
Докажем правило дифференцирования частного двух функций (дроби) . Стоит оговориться, что g(x) не обращается в ноль ни при каких x из промежутка X .
По определению производной
Пример.
Выполнить дифференцирование функции .
Решение.
Исходная функция представляет собой отношение двух выражений sinx
и 2x+1
. Применим правило дифференцирования дроби:
Не обойтись без правил дифференцирования суммы и вынесения произвольной постоянной за знак производной:
В заключении, давайте соберем все правила в одном примере.
Пример.
Найти производную функции , где a – положительное действительное число.
Решение.
А теперь по порядку.
Первое слагаемое .
Второе слагаемое
Третье слагаемое
Собираем все вместе:
4.Вопрос.Производные Основных элементарных функций.
Задание. Найти производную функции
Решение. Используем правила дифференцирования и таблицу производных:
Ответ.
5.Вопрос.Производная сложной функции примеры
Все примеры этого раздела опираются на таблицу производных и теорему о производной сложной функции, формулировка которой такова:
Пусть 1) функция u=φ(x) имеет в некоторой точке x0 производную u′x=φ′(x0), 2) функция y=f(u) имеет в соответствующей точке u0=φ(x0) производную y′u=f′(u). Тогда сложная функция y=f(φ(x)) в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций f(u) и φ(x):
(f(φ(x)))′=f′u(φ(x0))⋅φ′(x0)
или, в более короткой записи: y′x=y′u⋅u′x.
В примерах этого раздела все функции имеют вид y=f(x) (т.е. рассматриваем лишь функции одной переменной x). Соответственно, во всех примерах производная y′ берётся по переменной x. Чтобы подчеркнуть то, что производная берётся по переменной x, часто вместо y′ пишут y′x.
В примерах №1, №2 и №3 изложен подробный процесс нахождения производной сложных функций. Пример №4 предназначен для более полного понимания таблицы производных и с ним имеет смысл ознакомиться.
Желательно после изучения материала в примерах №1-3 перейти к самостоятельному решению примеров №5, №6 и №7. Примеры №5, №6 и №7 содержат краткое решение, чтобы читатель мог проверить правильность своего результата.
Пример №1
Найти производную функции y=ecosx.
Решение
Нам нужно найти производную сложной функции y′. Так как y=ecosx, то y′=(ecosx)′. Чтобы найти производную (ecosx)′ используем формулу №6 из таблицы производных. Дабы использовать формулу №6 нужно учесть, что в нашем случае u=cosx. Дальнейшее решение состоит в банальной подстановке в формулу №6 выражения cosx вместо u:
y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′(1.1)
Теперь нужно найти значение выражения (cosx)′. Вновь обращаемся к таблице производных, выбирая из неё формулу №10. Подставляя u=x в формулу №10, имеем: (cosx)′=−sinx⋅x′. Теперь продолжим равенство (1.1), дополнив его найденным результатом:
y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)(1.2)
Так как x′=1, то продолжим равенство (1.2):
y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)=ecosx⋅(−sinx⋅1)=−sinx⋅ecosx(1.3)
Итак, из равенства (1.3) имеем: y′=−sinx⋅ecosx. Естественно, что пояснения и промежуточные равенства обычно пропускают, записывая нахождение производной в одну строку, – как в равенстве (1.3). Итак, производная сложной функции найдена, осталось лишь записать ответ.
Ответ : y′=−sinx⋅ecosx.
Пример №2
Найти производную функции y=9⋅arctg12(4⋅lnx).
Решение
Нам необходимо вычислить производную y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′. Для начала отметим, что константу (т.е. число 9) можно вынести за знак производной:
y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′(2.1)
Теперь обратимся к выражению (arctg12(4⋅lnx))′. Чтобы выбрать нужную формулу из таблицы производных было легче, я представлю рассматриваемое выражение в таком виде: ((arctg(4⋅lnx))12)′. Теперь видно, что необходимо использовать формулу №2, т.е. (uα)′=α⋅uα−1⋅u′. В эту формулу подставим u=arctg(4⋅lnx) и α=12:
Дополняя равенство (2.1) полученным результатом, имеем:
y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′(2.2)
Примечание: показать\скрыть
Теперь нужно найти (arctg(4⋅lnx))′. Используем формулу №19 таблицы производных, подставив в неё u=4⋅lnx:
(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′
Немного упростим полученное выражение, учитывая (4⋅lnx)2=42⋅(lnx)2=16⋅ln2x.
(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′=11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′
Равенство (2.2) теперь станет таким:
y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′(2.3)
Осталось найти (4⋅lnx)′. Вынесем константу (т.е. 4) за знак производной: (4⋅lnx)′=4⋅(lnx)′. Для того, чтобы найти (lnx)′ используем формулу №8, подставив в нее u=x: (lnx)′=1x⋅x′. Так как x′=1, то (lnx)′=1x⋅x′=1x⋅1=1x. Подставив полученный результат в формулу (2.3), получим:
y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅4⋅1x=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).
Напомню, что производная сложной функции чаще всего находится в одну строку, – как записано в последнем равенстве. Поэтому при оформлении типовых расчетов или контрольных работ вовсе не обязательно расписывать решение столь же подробно.
Ответ : y′=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).
Пример №3
Найти y′ функции y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.
Решение
Для начала немного преобразим функцию y, выразив радикал (корень) в виде степени: y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7=(sin(5⋅9x))37. Теперь приступим к нахождению производной. Так как y=(sin(5⋅9x))37, то:
y′=((sin(5⋅9x))37)′(3.1)
Используем формулу №2 из таблицы производных, подставив в неё u=sin(5⋅9x) и α=37:
((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))37−1(sin(5⋅9x))′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′
Продолжим равенство (3.1), используя полученный результат:
y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′(3.2)
Теперь нужно найти (sin(5⋅9x))′. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё u=5⋅9x:
(sin(5⋅9x))′=cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′
Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем:
y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′(3.3)
Осталось найти (5⋅9x)′. Для начала вынесем константу (число 5) за знак производной, т.е. (5⋅9x)′=5⋅(9x)′. Для нахождения производной (9x)′ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё a=9 и u=x: (9x)′=9x⋅ln9⋅x′. Так как x′=1, то (9x)′=9x⋅ln9⋅x′=9x⋅ln9. Теперь можно продолжить равенство (3.3):
y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅5⋅9x⋅ln9==15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x.
Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав (sin(5⋅9x))−47 в виде 1(sin(5⋅9x))47=1sin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7. Тогда производная будет записана в такой форме:
y′=15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.
Ответ : y′=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.
Пример №4
Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы.
Решение
В формуле №2 таблицы производных записана производная функции uα. Подставляя α=−1 в формулу №2, получим:
(u−1)′=−1⋅u−1−1⋅u′=−u−2⋅u′(4.1)
Так как u−1=1u и u−2=1u2, то равенство (4.1) можно переписать так: (1u)′=−1u2⋅u′. Это и есть формула №3 таблицы производных.
Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё α=12:
(u12)′=12⋅u12−1⋅u′=12u−12⋅u′(4.2)
Так как u12=u−−√ и u−12=1u12=1u−−√, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде:
(u−−√)′=12⋅1u−−√⋅u′=12u−−√⋅u′
Полученное равенство (u−−√)′=12u−−√⋅u′ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения α.
Пример №5
Найти y′, если y=arcsin2x.
Решение
Нахождение производной сложной функции в данном примере запишем без подробных пояснений, которые были даны в предыдущих задачах.
Ответ : y′=2xln21−22x−−−−−−√.
Пример №6
Найти y′, если y=7⋅lnsin3x.
Решение
Как и в предыдущем примере, нахождение производной сложной функции укажем без подробностей. Желательно записать производную самостоятельно, лишь сверяясь с указанным ниже решением.
Ответ : y′=21⋅ctgx.
Пример №7
Найти y′, если y=9tg4(log5(2⋅cosx)).
Решение
6 Вопрос. Производная обратной функции примеры.
Производная обратной функции
Формула
Известно свойство степеней, что
Используя производную степенной функции:
Похожие статьи
-
Использование дидактического материала на занятиях с целью развития познавательной деятельности дошкольников
Маленькие дети играют всегда и везде. Это ведущий вид деятельности дошкольников. Независимо от того, ходит или нет малыш в детский сад, он получает новые знания, умения и навыки только через игру. Чтобы игра не только радовала, но и...
-
Функциональные обязанности классного руководителя Должностные обязанности классного руководителя начальной школы
Должностная инструкция классного руководителя 1. Общие положения 1.1. Настоящая должностная инструкция разработана на основе тарифно-квалификационной характеристики по должностям работников учреждений образования, согласованными с...
-
Вулкан Чимборасо в Эквадоре, одна из наиболее удалённых от центра Земли точек на поверхности
НАШ ДОМ - ПЛАНЕТА ЗЕМЛЯ Мы живем на прекрасной планете Земля. Если смотреть на нее из космоса, она - голубая, если лететь самолетом, можно видеть внизу бескрайние просторы зелени и красивые разноцветные мигающие огни ночных городов....
-
"Системно- деятельностный подход в обучении математике", презентация Основная педагогическая задача –
Вопросы 1. Научные основы системно-деятельностного подхода в образовании. 2. Основные идеи системно-деятельностного подхода в соответствии с ФГОС. 3. Условия реализации системно- деятельностного подхода. 4. Технология реализации...
-
Докучные сказки Докучная сказка про кота
Не сказать ли тебе сказочку про белого бычка? Я скажи, ты скажи. Не сказать ли тебе сказочку про белого бычка? Не хочу! Я не хочу, ты не хочешь. Не сказать ли тебе сказочку про белого бычка? Отстань! Я отстань, ты отстань. Не сказать ли...
-
Как придумать сказку вместе с детьми: советы Джанни Родари
СОВ Е Т Ы М А Л Е НЬКИ М Ш К О Л Ь Н И К АМ Ответы к стр. 30 Чтобы сочинить волшебную сказку, нужно вспомнить всё, о чём мы знаем: особенности волшебной сказки; построение сказки (присказка, зачин, концовка); сказочные герои;...